5.1.1 函数的概念 教学设计（表格式）

《函数的概念》教学设计
课题 函数的概念 课型 概念课
内容分析 1、函数一章在高中数学的学习中起承上启下的作用。函数是贯穿高中数学课程的一条重要主线，与代数式子、方程、不等式等内容联系密切，此外函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在实际生产生活中也有着广泛的应用。 2、学生已经在初中接触过函数等概念，但主要以变量入手，是用变量之间的依赖关系描述函数；而高中则是在学习集合的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，揭示了函数的本质是对应法则，建立了完整的函数概念，是对函数概念的进一步深化理解。 3、深化对函数概念的的理解，可为学生后期学习函数的性质等知识提供了良好的保证。同时，函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，也为学生今后学习高等数学奠定了基础。 4、函数的概念的形成过程中，众多数学家，如伽利略、笛卡尔等，都作出了不懈的努力，了解数学史、数学家故事有助于培养学生的理性思维和探索精神。 5、函数章节的学习对中学生数学学习起着决定性的作用，不仅是知识方面，更重要的是学习方法和数学思想方面。而作为本章的起始课之一，本节课的教学非常重要。
学情分析 1、高一上学期是高中的起步阶段，学生的求知欲旺盛，思维普遍活跃，善于表达、善于发现问题，对高中新的学习生活充满期待。 2、学生的认知能力和数学抽象概括能力虽然较前一阶段有了一定程度的提高，但仍较为薄弱，对于抽象的数学语言，需要老师积极引导。 3、学生对函数的概念并不陌生，学生在初中已经掌握了基于“变量说”的函数概念，但没有用“集合——对应”定义函数概念。也在本学期第四章中，学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的基本性质，已经基本具备建模能力。生活中大量的函数现象也使得学生对函数概念有了感性认识，但对抽象的、完整的函数概念较生疏。
教学重点 1、理解基于集合-对应关系的函数概念，感悟函数概念进一步抽象的必要性 2、函数三两要素：定义域、对应关系 3、判断两个函数相同（区别对应关系与表述形式）
教学难点 函数概念的形成与理解（函数概念较抽象） 2、函数符号的理解（符号“f”具有“隐蔽性”，不能从符号上想象出“f”的具体内容，学生缺乏足够的经验基础，需克服其在心理上对学习的影响）
教学目标 1、通过对具体实例，建立起函数的概念背景，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型；实例多来源于实际生产生活，体现了数学的应用价值，应用意识也得到提高。 2、通过初高中函数定义的对比，明白学习的意义所在，提升数学学习的兴趣。 3、通过观察和分析，梳理出函数的共同特征，用恰当的方式抽象出函数的概念，在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，学会用集合语言和对应关系刻画函数，从而建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系刻画的关系，发展善于思考、严谨求实的科学精神。 4、通过梳理函数共同特征的教学活动中，理解函数概念和其三要素：定义域、值域、对应法则，并能够简单应用。 5、通过对实例的观察、分析、归纳和表达等教学活动，体会对应关系，渗透模型思想和提高数学抽象的核心素养。 6、通过对例2“判断函数是否相同”的分析，掌握函数相同的定义，能够从代数和几何（函数图像的重合）两方面判定两个函数是否相同，体会数形结合的数学思想。 7、通过对例1和例3的分析，学会求解函数定义域、值域，掌握例3中所运用的变量代换法，体会变量代换简化结构从而解决问题的化简思想。 8、以小组形式借助书籍和网络了解函数概念的形成与发展，自主学习、团队协作、表达交流能力得到提升，从而认识到数学的文化价值、审美价值。
教学方法 1、教法 “启发式”教学：创设情境，由问题链启发学生思考归纳函数具有的共同特征，再有共同特征抽象出建立在集合和对应关系上的函数概念。 讲练结合法：给出函数的概念之后，练习1及时巩固和运用函数的概念判断给定的图像是否为函数；在给出判断函数相同的一般方法后，练习2及时巩固新知，并通过变式加深理解。 2、学法 自主探究，合作交流：学生首先通过对两现实问题中的函数的观察，归纳概括出函数的特点并抽象出函数的概念，通过老师的分析明白进一步定义函数的意义，并从初高中的定义比较中更加深入理解函数的定义。讲求解定义域值域的例题穿插在教学之中，学生从不同角度判断函数是否相同。以小组形式展开探究活动，并分享交流。学生在此过程中积极思考，大胆质疑，抓住本质，理清思路，体会数学思想。
教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 预设意图
创设情境 引入课题 问题1: 某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时. 问1：这段时间内，列车行进的路程 （单位： ）与运行时间 （单位： ）之间的关系如何表示？ 问2：路程 是时间 的函数吗？为什么？ 思考1：根据对应关系，如果列车运行，那么列车行进了？ 思考2：自变量的范围(定义域） （集合表示） 思考3：该列车运行的速度 （单位： / ）与运行时间 （单位： ）的关系？根据初中的函数定义， 是 的函数吗？ 问题2: 一个外国人走进麦当劳餐厅，他想买一个汉堡，但是他看不懂中文菜单，那么他该怎样来点餐呢？ 问1：这里的两个变量：编号和价格之间的关系如何表示？ 有什么表示方法可以使得编号与价格的关系一目了然吗？ 问2：编号和价格是函数关系吗？为什么？ 思考1：自变量的范围（定义域） （集合表示） 思考2：反过来，编号是价格的函数吗？ 课程导入： 函数这个词并不陌生，我们在初中学过正比例函数、反比例函数、一次函数，在上一章节我们学习了幂函数、指数函数和对数函数。那么先让我们回忆一下初中的时候也学习过许多函数，大家还记得有哪些吗？ 首先由一个复兴号列车视频引出问题。 问:1: 老师提问：与的关系要如何表示呢？ 问2：回顾初中函数定义。 引导学生抛开函数解析式，用图像也可以确定函数关系。从图像中引导学生用“每一个”“唯一确定”“对应”，为后面引出函数定义作铺垫。 思考1： 老师提问那么请大家思考一下：根据对应关系S=350t，我说列车运行1 h那么列车行进了350 ，对不对？ 老师提问：那问题出在哪里呢？问题出在时间t是有变化范围的。 思考2： 这个范围如果用集合怎么表示呢？ 并引导学生用集合表示定义域（运用描述法）。突出高中函数概念建立在“集合”上。 思考3：老师举例说明初中函数概念的局限性以及用词的准确性。分析在初中函数概念的基础上，深化函数概念的必要性，“依赖关系”一次不恰当，从而用“对应关系”代替。 问题2: 问1：老师引导学生使用列表法表示变量之间的关系。 问2： 老师:引导学生根据问题1 的分析过程，判断编号和价格也是函数关系， 我们可以采用列表法（直观清晰）： 问3：引导学生回答，并复习列举法。 老师提问：如果反过来，编号是价格的函数吗？ 老师：对，因为存在一个价格对应两个不同编号的情况，也就是“一对多”的情况，所以编号不是价格的函数。 （预设）学生回答：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数。 若学生无法回答出初中函数的定义，可以由教师引导回顾复习： 如果在一个变化过程中有两个变量 和，如果在变量 的允许范围内，变量 随着 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量 的函数。 （预设）学生回答：或者图像 （预设）学生运用初中函数概念判断路程 是时间 的函数。 （预设）学生回答：不对，因为根据题目的条件，我们不知道列车运行半个小时之后的情况。 （预设）学生回答：的变化范围是实数集 （预设）学生回答列表法 问2：学生类比问题1的思考过程解答问题2。 问3：学生运用 列举法表示定义域的集合。 学生讨论 （预设）学生回答：编号不是价格的函数，因为比如价格是17元，与之对应的有2和3两个编号。 通过对于旧知识的的回顾，缓解学生在学习新知识前，由于未知而产生的恐惧心理。 通过视频方式引出情境更加生动，聚焦了学生的注意力，并提升了学习兴趣。 通过现实生活中的实例来引入，建立了函数的现实背景，给学生以感性认识，激发了学生的学习兴趣，从而让学生感受到现实生活中存在许许多多的数学模型，从而学生的数学建模意识得到提高；通过观察分析抽象，从感性到理性，从特殊到一般的思维过程，培养了学生归纳概括的能力，体会从具体到抽象的的概念形成过程。 问题1 也与学生物理中的运动学学习知识相关联，使学生体会到学科之间的融合。 问题2的设计一是贴近生活，发现数学与生活的密切联系。二是改变学生可能存在的“函数就等价于函数解析式”的狭隘的偏见，揭示了函数的本质是“对应关系”，旨在通过表格找到对应法则，不仅抛开了解析式，突出了函数的对应法则，还通过反例使得学生理解对应法则必须“唯一确定”，为接下来抽象出精确的函数概念做准备，同时从表格的角度辨析函数的概念。
形成概念 理解解析 例题讲解 巩固新知 思考1：上述两个个问题中的函数有什么共同特征？ 思考2: 根据上述函数的共同特征，你能用集合和对应关系给出函数的定义吗？ 练习1：请你判断以下是否为函数？并说明理由。 思考3:当自变量取值时，由对应关系所确定的对应于点值，称为函数在处点函数值，所有函数值组成的集合称为这个函数的值域，你能用集合的语言表示值域吗？ 初高中函数概念对比 例题1:以下三个函数的定义域分别是什么？ 定义域 定义域 定义域 例题2:求函数的值域 解：该函数的定义域是 R 变量代换 令 +1 , 的取值范围为 此时原函数化为 ，它的取值范围为 因此，函数=的值域为 老师引导归纳出函数的共同特征，并引出关键词“任意”，“对应关系，教师完善学生给出的函数的概念，给出精确的定义：设是一个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系，使得集合中的任意给定的，都有唯一的实数与之对应，就称这个对应关系为集合上第一个函数（function），记作，其中，叫做自变量（independent variable），其取值范围（数集）称为该函数的定义域。 值域（range）集合 教师强调函数的两个要素：定义域与对应关系，强调不是三个要素的原因是定义域和对应关系可以确定值域，从而函数也随之确定。 老师提出求解定义域与值域的问题，让学生自主解答，老师巡视解答情况，并请一位学生代表总结定义域求解的基本思路。老师补充具体函数没有明显的写出定义域的情况时，其定义域指使得表达式有意义的全体实数组成。 引导学生求解稍复杂函数的值域：强调求解值域首先求解定义域，渗透变量代换思想，以及初等函数的性质的应用。 学生在老师的引导下，观察分析两个函数的共同特征，抓住函数的本质；学生由归纳概括得出函数的共同特征，用自己的语言叙述概念。 学生尝试利用所学概念自主解答例题，作简单应用。巩固新知的同时，学习例题中的数学思想。 学生有了感性体验之后，引导他们参与到理性分析过程中去。两个问题展现几个函数的不同外在形式，这其实暗含了函数的几种表示方法，由熟悉的“解析法”引入，再用“图像法”和“表格法”，可为5.2节内容作铺垫。 多角度地观察、比较函数的概念帮助学生从广度上加强了对函数的理解，也可使学生体会到不同表示方法的特点：“解析法”运算方便，“图像法”直观趋势明显，“表格法”对应清晰。让学生体会虽然表示方式不同，但存在某些共同特征，引导学生自主思考，激发了学生学习探究知识自主性，归纳提炼出本质属性，发展了学生建模与抽象的核心素养。练习题让学生不断回到定义，巩固新知识，加强理解的深度。 练习1通过正反例辨析使学生加强对函数概念的理解。
课堂练习 迁移应用 思考4：与它们是同一个函数吗？为什么？ 练一练： 练习4:判断下列四个函数与y=x是否相同？ 思考5:你能尝试举出对应关系一致但表述形式不同的相同的函数吗？ 老师引导学生利用函数的定义思考问题。 老师引出函数相同的定义：两个函数的定义域和对应关系完全一致。直观上：两个函数的图像完全重合。强调同一对应关系可能有不同的表述形式。 引导从函数相同的定义出发（注意对应关系与表述形式间的区别）；以及几何方法判断两个函数是否相同。 老师请学生举例，并互相判断所举例子的正确性，最后老师总结。 学生思考如何判定两个函数相同，并归纳总结什么是相同的函数。 从函数相同的定义出发，自主解答练习4，学生代表发言所得结论。 学生代表举例，先由学生们互相判断例子是否合理。 通过初高中函数概念的比较，相似之处让学生们感受到知识点并不陌生，缓解了学生对新知识点恐惧心理，不同之处又可以加深对函数的理解，明确初高中函数概念的区别，抓住重点让学生明白两者的辩证统一，又使得概念得到进一步抽象与数学化，感悟概念逐步完整的过程。 思考4引导学生观察、分析，并从代数和集合两方面辨析，培养了学生多维度思考的发散思维，渗透了数形结合的重要思想，为后面数学的学期打下坚实基础。思考5培养学生逆向思维，巩固并灵活应用新知识，在新的高度重新认识和掌握基本概念。
课程小结，课后作业 1、观察分析→归纳概括→抽象表达 基于“集合-对应关系”定义了函数概念 2、以及定义域、值域的求解 变量代换法化简 3、相同函数的判断 数形结合
老师请几位学生发言总结，最后总结本次课程内容。 分层作业： 课后习题：5.1（1） 探究活动： 函数概念的形成与发展的过程，以小组形式撰写探究报告。 几位学生代表发言本节课要点。 回顾课程内容的同时，更重要的是回顾其中的思维过程，思想方法。 通过探究活动，让学生了解数学史，一方面使学生更好地理解函数这一概念，另一方面培养了学生自主学习、团队协作、表达交流能力，从而认识到数学的文化价值、审美价值。
板书设计
教学反思