武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷
命审题单位：武汉一中高一数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学
本试卷共6页，22题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年1月25日下午14：00—16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A. 31 B. 16 C. 14 D. 7
5. 已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的标准方程为 B. 的离心率等于
C. 与双曲线的渐近线不相同 D. 直线与有且仅有一个公共点
6. 已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
9. 椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ）
A. B.
C. 当直线的斜率为时， D.
12. 已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为递增数列 D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列前项和为，则_________．
14. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________．
15. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则_________．
16. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为_________．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第题每题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
18. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线标准方程；
（2）若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
19. 为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
（1）如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
20. 已知等比数列前四项和为30，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
21. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
22. 已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期末联考
高二数学试卷
命审题单位：武汉一中高一数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学
本试卷共6页，22题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年1月25日下午14：00—16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求解抛物线的准线方程即可.
【详解】抛物线的准线方程是.
故选：B.
2. 已知数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接裂项求和即可得解.
【详解】由题意，所以.
故选：C.
3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆列出不等式组求解即可.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
4. 九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A. 31 B. 16 C. 14 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据递推公式计算即可.
详解】由可得，
，
，
.
最少移动次数为.
故选：A.
5. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的标准方程为 B. 的离心率等于
C. 与双曲线的渐近线不相同 D. 直线与有且仅有一个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】首先待定系数法得的标准方程为可判断A，进一步可判断BC，联立直线与双曲线的方程即可判断D.
【详解】对于A，由题意不妨设的方程为，
所以有，解得，即的标准方程为，故A不符合题意；
对于B，因为，所以，离心率为，故B不符合题意；
对于C，令，都可以得到，即与双曲线的渐近线相同，故C符合题意；
对于D，联立，消去化简并整理得，，解得，，
即直线与有且仅有一个公共点，故D不符合题意.
故选：C.
6. 已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用求出数列的通项公式，再通过恒成立求的取值范围.
【详解】由得，
两式相减得，即，
又，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
若数列是递增数列
则恒成立，
即恒成立，
即恒成立，又，
所以.
故选：B.
7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案.
【详解】抛物线的焦点为，
由题意可知：可知直线与抛物线必相交，
设，，，，
则，
设的方程为，
联立方程，消去并整理得，
根据韦达定理得，即，
同理可得，则，
可得，
设直线为，
联立方程，消去并整理得，
根据韦达定理得，所以.
故选：A.
8. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立方程组求出交点，再利用中点坐标公式求出中点坐标，依据等腰三角形三线合一推出垂直，建立齐次方程求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线为，
联立方程组，，解得，，故，
联立方程组，，解得，，故，
设为的中点，由中点坐标公式得，
由题意得，故，
则，可得，
化简得，即，
故渐近线方程为.
故选：A
【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 （即 ），应注意其区别与联系.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
9. 椭圆离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】联立直线与椭圆得，再根据条件即可得出结果.
【详解】由，消得到，
由题有，解得，又，，
得到，所以，
故选：AD.
10. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先通过条件确定和的取值情况，然后利用等比数列的性质计算即可.
【详解】由已知，又，，
所以，，A正确，B错误；
，
，
，
所以，C正确，D错误.
故选：AC.
11. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ）
A. B.
C. 当直线的斜率为时， D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D.
【详解】由题意可得，
设直线方程为，，
则，，所以，
对于A，，故A正确，
对于B，，B正确，
对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，
解得，所以，
所以，故C错误，
对于D，
，
将代入可得，
所以，
等号成立当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为递增数列 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：直接代入数据计算即可；对于B：化简，得到常数数列计算即可；对于C：通过计算可判断；对于D：计算可判断.
【详解】因为，，，
所以，，，
，，，
所以，A正确；
又因为，
，
所以，
所以，
所以数列为常数数列，
所以，
又明显有，
所以，
所以，B正确；
又因为，
所以为递增数列，C正确；
因为，D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过递推公式求出通项公式，构造常数数列求解.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列前项的和为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质计算可得.
详解】依题意，又，
所以，则，所以.
故答案为：
14. 已知，是双曲线左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解.
【详解】如图所示：
由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，
所以，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为7.
故答案为：7.
15. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则_________．
【答案】56
【解析】
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，可分组求和，利用累加法即可求得结果.
【详解】由递推公式，可得，，……，；
而
.
故答案为：56.
16. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，由，结合两角和的正切公式、直线的斜率与倾斜角的关系，可得到点A的坐标，将其代入椭圆方程，根据椭圆离心率的计算方法求解即可.
【详解】设，,则，设椭圆的焦距为，则，
所以，，
因为，所以，化简得，
所以即，所以或（舍），
，又因为，所以，解得，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第题每题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解.
（2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
【小问2详解】
由（1）可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
18. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【小问1详解】
由题意得：，令，
则，
又焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设，，
联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以．
19. 为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
（1）如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1），有，化简并整理即可求解.
（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.
【小问1详解】
根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
【小问2详解】
，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
20. 已知等比数列前四项和为30，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由等比数列性质列方程求得公比首项即可得解.
（2）①首先得，进一步，，结合等差数列求和公式即可得；②直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.
【小问1详解】
设的公比为，则：，
则，所以．
【小问2详解】
①在和之间插入个数、、、，
使、、、、、成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
②，
则，
，
则，
故：．
21. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果；
（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果.
【小问1详解】
将点代入抛物线方程得，所以抛物线,
设，，
由，消得，
由韦达定理得，又，得到，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，又，
所以为定值．
【小问2详解】
由（1）可知，，，，
因此，整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及斜率公式列出方程组即可求解.
（2）设，，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理以及同理思想表示出坐标，进一步设直线方程为：，由列出方程，得关系式即可得证.
【小问1详解】
由题意得：，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设，，直线与椭圆联立：
化简整理：，
因为，
从而：，，同理：，，
设所在的直线方程为：，
则：
，
故：，过定点．
