4.1数列的概念 同步练习（含解析）

4.1数列的概念同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．31 B．16 C．14 D．7
2．在数列中，如果存在正整数，使得，对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（ ）
A．674 B．1348 C．1350 D．2024
3．数列满足，则（ ）
A． B． C． D．3
4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
5．已知数列的通项公式，则123是该数列的（ ）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
6．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（ ）．
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．为递增数列 D．
10．数列中，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．
12．某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．
三、填空题
13．已知数列的前项和，且恰好有一项是负项，则的值是 ．
14．在数列中，，则 ．
15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为 ．
16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题
17．若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
18．在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
19．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围；
20．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
21．设为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】直接根据递推公式计算即可.
【详解】由可得，
，
，
.
最少移动次数为.
故选：A.
2．C
【分析】对周期从小到大分类讨论求得符合题意的周期，由此即可顺利得解.
【详解】若数列的周期为1，则，但，矛盾，
所以数列的周期不可能为1，
若数列的周期为2，则，且，
又，所以解得，
而当时，，矛盾，
所以数列的周期不可能为2，
若数列的周期为3，则，
且，
所以或，
又，所以，
且此时有，
所以或，
又，所以，
解得符合题意，
当时，数列为：，满足题意，
此时，
所以该数列前2024项的和是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：关键是求得符合题意的周期，结合周期即可顺利求和得解.
3．C
【分析】首先列举数列的项，确定数列的周期，即可求解数列中的项.
【详解】由条件可知，，，，
所以数列的周期为3，.
故选：C
4．C
【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.
【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为，
所以五边形数依次为，即第8个数为92.
故选：C
5．C
【分析】根据通项公式可直接求出.
【详解】由，解得（舍去），
故选：C．
．
6．D
【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案
【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，
所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.
故选:D.
7．C
【分析】利用，再根据题中所给数列的规律即可求出结果.
【详解】因为，所以根据该数列的规律可知，是该数列的第项，
故选：C.
8．A
【分析】根据已知条件中的规律，利用累加法求出数列的通项公式，进而求得，利用裂项相消法求出数列的前20项和即可.
【详解】根据已知条件有，当时，，
，，，，
以上各式累加得：，
又，所以，
经检验符合上式，所以，
所以，设数列的前项和为，
则，
所以.
故选：A.
9．ABC
【分析】对于A：直接代入数据计算即可；对于B：化简，得到常数数列计算即可；对于C：通过计算可判断；对于D：计算可判断.
【详解】因为，，，
所以，，，
，，，
所以，A正确；
又因为，
，
所以，
所以，
所以数列为常数数列，
所以，
又明显有，
所以，
所以，B正确；
又因为，
所以为递增数列，C正确；
因为，D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过递推公式求出通项公式，构造常数数列求解.
10．ABD
【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.
【详解】由题意得：，
数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知：，
，D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.
【详解】根据题意，，
则有，
当时，
，
也满足，所以.
，A选项错误；
，B选项正确；
，， C选项正确；
，
，D选项正确.
故选：BCD
12．ACD
【分析】由题意求出两枚骰子的点数均为奇数的概率为，计算出，从而得到，所以 ，求解即可.
【详解】两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为，
往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确．
由题可知，，
则，
故数列为常数列，也是等差数列，C正确．
又，得，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，则，D正确．
故选：ACD.
13．-2或-1
【分析】由题意得，，若要满足题意则只能异号，由此列出不等式即可求解.
【详解】由题意，
当时，，
若，即时，有，此时与恰好有一项是负项矛盾；
所以，而从第二项起及以后，数列开始单调递增，
所以若恰好有一项是负项，
则，解得，
所以的值是-2或-1.
故答案为：-2或-1.
14．/
【分析】根据数列的递推公式计算数列的前几项，从而找到数列的周期即可得出答案.
【详解】由题意可知，
所以数列的周期为3，所以.
故答案为：
15．
【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可.
【详解】若，则，则，
若，则或，
当时，则，则或；
当时，则，则；
综上所述：m所有可能的取值集合为.
故答案为：.
16． 4
【分析】由欧拉函数定义，确定中与8互质的数的个数求，且，应用作差法判断的单调性，即可求最大值.
【详解】由题设，则中与8互质的数有，共4个数，故，
在中，与互质的数为范围内的所有奇数，共个，即，
所以，则，
当时，当时，即，
所以的最大值为.
故答案为：4，
17．(1)数列不满足性质P；数列满足性质P，理由见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【分析】（1）根据题意分析判断；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断.
【详解】（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；
（2）对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，然后根据累加法结合条件即可求解；
（2）利用错位相减法求出，然后根据恒成立分类讨论即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，即，
当时，
，
所以，又符合，
所以；
（2）由题意知，
，
两式相减得，
所以，若不等式对任意的恒成立，
当，时，则，
所以，当，时，
则，所以，即，
所以，即的取值范围为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案.
（2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得.
【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得，
于是，即，两边取对数得，
即，整理得，
因此数列是常数列，即，于是，
所以.
（2）由（1）知，，
由数列为递增数列，得，
即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号，
所以实数k的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】（1）变形得到，得到数列是常数列，根据求出通项；
（2）变形得到，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）由，得，
所以．所以数列是常数列．
又，所以．所以．
（2）因为，
所以数列的前n项和
．
21．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用推导求解即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）当时，，当时，，
两式相减得，则，
当时，，
又当时，，当时，，则，
显然符合，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
答案第1页，共2页
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