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第四章 三角形及四边形
第二节 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等腰（等边）三角形的性质与判定 ☆☆☆ 特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。
考点2 垂直平分线的性质与判定 ☆☆
考点3 勾股定理与逆定理及其应用 ☆☆
考点4 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
■考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；
（3）等边三角形（边长为a）的面积：。
6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
■考点二 垂直平分线的性质与判定
1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
■考点三 勾股定理与逆定理及其应用
1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
■考点四 直角三角形的性质及计算
1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面积公式： (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。
■易错提示
1. 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，需要分类讨论。
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解。
■考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
◇典例1：（2023·青海西宁·统考中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，∴．
∵为直角三角形，∴可分类讨论：①当时，如图1，
∴；
②当时，如图2，
综上可知的度数是或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
◆变式训练
1.（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
2．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．
【答案】
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，即，
解得：，故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
3．（2023·湖北·中考模拟预测）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，熟练运用“等边对等角”求角的度数是解题关键．
根据三角形内角和定理以及“等边对等角”可得，再利用三角形的内角和定理可得，最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵以B为圆心，长为半径画弧，∴，∴，
∴，∴，
∴．故选：A．
◇典例2：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，是边的中线，∴，，
在中，，，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
◆变式训练
1．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．
【详解】解：∵是的角平分线，∴，
∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；
又是的角平分线，，
∴，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解
题的关键．
◇典例3：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
【答案】C
【分析】根据作图可知：点在线段的中垂线上，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：由题意，得：点在线段的中垂线上，
∴，∴是等腰三角形；故选项C一定正确，故选C．
【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏·中考模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
2．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．
（1）求证：．（2）若，求的面积
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意证明即可；
（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）因为平分，所以．所以，
又因为，所以，所以．
（2）由题意，得，，所以，
所以的面积为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键．
◇典例4：（2023·山西大同·统考一模）如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质；
根据等边三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，得到，再根据等角对等边得出结论．
【详解】证明：∵在等边三角形中，是中线，∴，，
∵，∴，∴，∴．
◆变式训练
1.（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，
∵，∴，故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，，，
∴=
== ==，∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，，
∴，∴，∵△ABC是等边三角形，
∴， ，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，
∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE
∵，∴，解得OE=，∴OC=，
∴OP=CP-OC=．故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
◇典例5：（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
【答案】1
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，
∵，∴，
∵和是等边三角形，∴，
∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，解得．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·河南周口·校联考三模）如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（ ）．
A．9 B． C． D．1
【答案】D
【分析】将四个选项分别代入，结合等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质即可判断．
【详解】解：A．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，
，
∴，点E与点C重合，∴点D为中点，∴，
∴为直角三角形，故该选项不符合题意；
B．当时，点D运动了，点E动了，∴D，E两点的位置如图所示，
∴，点D在上，∴点E为中点，∴，
∴为直角三角形，故该选项不符合题意；
C．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，过点A作，
∴，∴．∵，∴．
又∵，∴，
∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意；
D．当时，点D运动了，点E动了，∴D，E两点的位置如图所示，
不能证明为直角三角形，故该选项符合题意．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．将四个选项分别代入，画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
◇典例6：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件： ．使得是等边三角形．
【答案】或或或者
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，全等三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论．
【详解】解：逆时针旋转得到，则，，
若添加条件：或者，则是等边三角形；
若添加条件：，则是等边三角形；
若添加条件：，，，，
，是等边三角形；
故答案为：或或或者．
◆变式训练
1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
【答案】
【分析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从而求得的面积．
【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接和，
∵点D为的中点，，
∴,，是的角平分线，是，
∴，∴
∵，∴ 是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴∵
∵，∴∴，,
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题关键．
2．（2022·湖南湘潭·中考真题）（多选题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，∴，故B选项正确，
∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：ABC．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
◇典例7：（2024·福建福州·校考一模）如图，是等边三角形内的一点，且．
(1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）；(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于一点，即为点，连接，即可；（2）根据旋转得出，，， 证明为等边三角形，证明为直角三角形，得出，即可求出结果．
【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转后所得到的，如图所示：
（2）解：如图，连接，∵绕点A逆时针旋转后所得到的，
∴，，， ∴为等边三角形，
∴，，在中，，
∴为直角三角形，且，∴．
【点睛】本题主要考查了旋转作图，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·考模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
，，，，，
以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，
是等边三角形，，，故选：B．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及弧长公式，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，在中，，D是的中点，于点E，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，易证为等边三角形，从而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出，从而得出，然后根据等边三角形的性质及勾股定理得出，从而得出
，即可得出答案．
【详解】解：连接，为等边三角形
D是的中点，，
的面积与的面积之比为 故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
■考点二 垂直平分线的性质与判定
◇典例8：（2023·山东青岛·统考三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可．
【详解】如图所示：点即为所求．
◆变式训练
1．（2023·河北承德·统考一模）如图，4幅图中的，，则下列叙述错误的是（ ）
A．图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线
B．在图甲、图乙、图丙中，
C．图甲中所作的三段弧的半径是相同的
D．图丁中
【答案】C
【分析】根据图形逐项做出判断即可．
【详解】解：A．图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线，故选项正确，不符合题意；
B．甲图是作，
乙图中是作线段的垂直平分线，则，则，
丙图中是过点B作的垂线，则，则，
∴在图甲、图乙、图丙中，，故选项正确，不符合题意；
C．图甲中所作的三段弧的半径是不同的，故选项错误，符合题意；
D．由图可知是圆的直径，由直径所对的圆周角是直角可知，故选项正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查为了基本作图，垂直平分线的性质、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握基本作图和相关性质定理是解题的关键．
2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，平分，∴，故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴，
∵，∴，故选项B正确，不符合题意；
C．∵，，∴，
∵，∴，故选项C正确，不符合题意；
D．∵，，∴；故选项D错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
◇典例9：（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，
又，∴．故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
2．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
【答案】##50度
【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得
，根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，∴，
由作图可知是的垂直平分线，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．
◇典例10：（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可．
【详解】解：由作法可得垂直平分，，
，．
，，，
，
如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，
，
，，
，，故选B．
【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．
◆变式训练
1．（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．
【答案】1
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，∴，∴，
设，则，∵，∴，∴，∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，∴点到的距离为1．故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
【答案】23
【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
，， 故答案为：23
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
■考点三 勾股定理与逆定理及其应用
◇典例11：（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
【答案】8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，
根据题意可得：，解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，故答案为：8，6，10．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，故答案为：m2-1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）
【答案】10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
∵底面周长为，，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
【答案】
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，即
∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于长，
即最小时为，解得：（舍），，
∴图中的x至少为，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
◇典例14：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
【答案】3
【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，在Rt AED中，，即，
解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
◆变式训练
1. （2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∴，同理，，∴，
∴，故选：A．
2．（2023·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
【答案】##
【分析】由题意可知，，，从而由勾股定理可求出．再根据等腰直角三角形的性质可求出，进而可求出，，最后根据矩形的面积公式即可求出中间矩形的面积．
【详解】如图，由题意可知，，,
∴，∴．
∵，即，∴，∴
∴，，
∴中间的矩形的面积是．故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
◇典例13：（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，∴．故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
◆变式训练
1．（2024·上海普陀·统考一模）如图，和都是直角三角形，，，、相交于点，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质；过点作于点，证是等腰直角三角形，得，，设，则，再由勾股定理得，然后求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
，，
是等腰直角三角形，，
设，则，，，
，，
，，故选：D．
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
【答案】/
【分析】过H作于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解．
【详解】解：设，
过H作于Q，在矩形中，，
∴，由作图得：平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在中，有，即：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．
【详解】解：∵，∴，
由折叠的性质可知，∵，
∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．
◇典例13：（2023·广东广州·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)(2)证明见解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，为等腰直角三角形，
∵，∴为等腰直角三角形，
，故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
◆变式训练
1. （2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理及其逆定理的应用；根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根据题意可得这条剪痕可能是或边的中线．分别根据中线的性质以及勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，中，，，，
，是直角三角形，且．
过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，与不全等，这条剪痕可能是或边的中线．
如果这条剪痕是边的中线，那么，
，，；
如果这条剪痕是边的中线，那么，
，，；
这条剪痕的长可能为．故选：C．
■考点四 直角三角形的性质及计算
◇典例15：（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，，故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
2.（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
◇典例16：（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．
(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)若，求的长．
【答案】(1)图见详解；(2)
【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解；
（2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）解：所作线段如图所示：
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，即点O为的中点，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．
【详解】解：在中，，，，，
设到的距离为，，，故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
◇典例17：（2023·湖南郴州·统考中考真题）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
【答案】5
【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×10=5．故答案为5．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，∵，，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键．
2．（2022·湖南永州·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形
的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．
【详解】解：∵在等腰中，，，∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，
∴，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，点为边上的中点，
，，，．
．
，，，．．
又，，．，．
在中，．在中，．
又在中，，．．
．故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
4．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，，，
∠EBC＝45°，，为等腰直角三角形，
，，则△EBC的面积是．故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，
∵，，∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则 ．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，
设，∵，，∴，
∵，∴，，为等腰直角三角形，
∴，∴，
由勾股定理可得：，整理得：，解得：，
经检验不符合题意；∴；故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可
【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于，
当在线段上时，，，
，，
点是线段的中点，，，，
，，，，
，，
当在延长线上时，则，
是线段的中点，，，
，，，，
，，，
，，
的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2021·北京中考真题）《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．
【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：在中，，是的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；
故答案为，等腰三角形的三线合一．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，
在和中，，∴；
（2）∵，为的角平分线，∴
由作图可得，∴，
∵，为的角平分线，∴，∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为 ；（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)(2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论．
【详解】（1）解：；故答案为：．
（2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，
由图可得：∵，，，
∴，∴，，∵，∴，即，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，即，∴，即，
∵，，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
11．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；(2)若时，求的长；(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由即可证明；（2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；（3）证明，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知，，．
．即．．
（2）在中，，
．．
，，．
．．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，．
．即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．由弧②可以判断出 B．弧③和弧④所在圆的半径相等
C．由弧①可以判断出 D．的内心和外心都在射线上
【答案】C
【分析】利用基本作图可对选项和B选项进行判断；利用基本作图可得到平分，从而可对C选项进行判断；根据三角形的内心和外心的定义可对D选项进行判断．
【详解】解：A．由弧可得，故选项正确，不符合题意；B．由弧和弧可得到，即弧和弧所在圆的半径相等，故B选项正确，不符合题意；C．由弧可判断为的平分线，而由弧不可以判断出，故C选项正确，符合题意；
D．∵平分，∴的内心在射线上，
∵垂直平分，∴的外心在射线上，故D选项正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内心与外心．
2．（2023·山东德州·统考一模）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
【详解】解：作交于点，
，平分，点是的中点，，，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出结论，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，即可判断和的特征，然后根据等腰三角形的判定说明即可得到答案.
【详解】解：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
同理，得，∴，∴都是等腰三角形．连接，
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴是顶角为的等腰三角形．
∵，∴，∴是顶角为的等腰三角形．
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴是顶角为的等腰三角形，故选C.
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】先求出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，求出的长．
【详解】解：∵是等边三角形，是的平分线上一点，∴，
∵，为线段的垂直平分线，∴，
∴，∴，
在中，，∴．故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数，所对的直角边等于斜边的一半的知识，解题的关键是熟练利用相应的定理进行推理．
5．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023·浙江温州·统考二模）在中，比较与的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点为圆心，为半径作圆弧，分别交，于点，，若，，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】连接，根据题意可得：，先利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，，，，
是等边三角形，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E，过点C作，垂足为点D，与相交于点F，若，则的度数为 ．
【答案】/106度
【分析】由作图可知，是的垂直平分线，则为的中点，如图，连接，则，，，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，∴为的中点，如图，连接，
∵，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了作垂线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．（2023·湖南·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
【答案】
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵，是角平分线，∴，
在中，，∴，
由勾股定理得：，∵的垂直平分线交于点F，∴，
∴的垂直，故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．（1）若，则的度数为 ；
（2）过点O作于点F，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，，从而有，，由三角形内角和定理，从而由可求得结果；
（2）连接，由已知可得点O在线段的垂直平分线上，则可得；再利用线段垂直平分线的性质得，，最后可求得周长的值．
【详解】（1）∵点O为中的外心，，，∴、是的垂直平分线，
∴，，∴，，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴；故答案为：；
（2）连接，∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，，∴，∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，∴，∵，，
∴的周长．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质与判定是关键．
10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知，点为射线上的定点，点为射线上的动点（不与，重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，，过点作的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)如图1，当点在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：；
(2)当点在射线上运动时，用等式表示线段，和的关系，并证明．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2)或
【分析】（1）先逐步根据提示画图，再证明，设，证明，可得，从而可得答案；
（2）如图，过F作于H，证明，，，可得，，，证明，，可得，从而可得结论，同理可得当点在线段上时的结论．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：
∵，，∴，，∴设，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，而，∴．
（2）如图，当点在的延长线上时，过F作于H，
∵，，∴，，
∵，∴，
∴，，，∴，
∵，∴，∴，，∴，
∵，∴，，∴，
∴．
当点在线段上时，如图，过F作于H，
同理可得：．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的根据题意画出图形，作出辅助线是解本题的关键．
11．（2022·福建泉州·校考模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可证出结论；（2）连接，，，由全等三角形的性质得出，，证出，可得，由等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，平分，平分，由，为的垂直平分线，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2）证明：连接，，，
∵，∴，，∴，
又∵为的中点，则∴为的垂直平分线，平分，
∵，∴为的垂直平分线，∴E，M，F三点共线，
∵，，∴，
∵N为的中点，∴平分，
∵平分，∴N在上，∴F，N，E，M四点共线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
12．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．
求作：等腰，使得点C在射线上．
作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．
作法二：如图2．
①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；
③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线交射线于点C．
作法三：如图3，
①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；
②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：
由作法一可知：______，
∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的______．
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
【答案】；；等角对等边；垂直平分线；线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等
【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是线段的垂直平分线．根据作图结合垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．
由作法二可知：，
∴（等边对等角）∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的垂直平分线．
∴（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）
【点睛】本题考查了作线段，作一个角等于已知角，作垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（ ）
A．56 B． C． D．
【答案】B
【分析】延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，证，得，，再证，得，，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，进而求出，再利用即可解决问题．
【详解】解：延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，如图所示：为的中点，，
在和中，，，
，，，，
，，，，
，，
，，
在和中，，，
，，
，，，
，，在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2023·湖北·统考中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正确；∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，；故②错误；∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，故④正确；故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．
【答案】/
【分析】根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，≌，，,
，、是等腰直角三角形，；
连接、,≌，，连接，
，，≌，，，
又，，≌，，
连接、，，，≌，，
设，，，，
，，，
，，
得，，解得（舍），，，，，
又∽，，，故答案是．
【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键．
4．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，
由三角形的外角性质得，即，此情况不存在；
当时，，，
由三角形的外角性质得，解得；
当时，，∴，
由三角形的外角性质得，解得；
当时，，∴，
∴；
综上，的度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
5．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，
，，当时，，即，
，，是等边三角形，，
，，，即点的纵坐标为，
同理可得：点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数），
则点的纵坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F．
(1)求的度数；(2)以C为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，点N为的中点，连接．①依题意补全图形；②若，求k的值．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】（1）证明，得出，根据求出结果即可；
（2）①根据题意画出图形即可；②延长至点Q，使，连接，证明，得出，，证明，得出，延长至点P使得，连接，，证明，得出，，说明为等边三角形，得出，根据，得出，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：①如图所示：
②延长至点Q，使，连接，如图所示：
∵N是的中点，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，∴，
∵为等边三角形，∴，
∵绕点C旋转得到，∴，，∴，
延长至点P使得，连接，，由（1）可知，，
∴为等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，，∴为等边三角形，
∴，∵，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构造全等三角形．
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第四章 三角形及四边形
第二节 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等腰（等边）三角形的性质与判定 ☆☆☆ 特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。
考点2 垂直平分线的性质与判定 ☆☆
考点3 勾股定理与逆定理及其应用 ☆☆
考点4 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
■考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“ ”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“ ”）。
4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边 ；（2）三个内角都 ，且每个内角都是 ；
（3）等边三角形（边长为a）的面积： 。
6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的 三角形是等边三角形。
■考点二 垂直平分线的性质与判定
1）垂直平分线的定理：经过线段的 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段 相等。
3）垂直平分线的判定：到一条线段 的点在这条线段的垂直平分线上。
■考点三 勾股定理与逆定理及其应用
1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
■考点四 直角三角形的性质及计算
1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 。
3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面积公式： (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。
■易错提示
1. 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，需要分类讨论。
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解。
■考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
◇典例1：（2023·青海西宁·统考中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
◆变式训练
1.（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．
3．（2023·湖北·中考模拟预测）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
◆变式训练
1．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．
2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
◇典例3：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
◆变式训练
1．（2023·江苏·中考模拟预测）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：．（2）若，求的面积
◇典例4：（2023·山西大同·统考一模）如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：．
◆变式训练
1.（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
◆变式训练
1.（2023·河南周口·校联考三模）如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（ ）．
A．9 B． C． D．1
2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
◇典例6：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件： ．使得是等边三角形．
◆变式训练
1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
2．（2022·湖南湘潭·中考真题）（多选题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
◇典例7：（2024·福建福州·校考一模）如图，是等边三角形内的一点，且．
(1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）；(2)求的度数．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·考模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，在中，，D是的中点，于点E，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
■考点二 垂直平分线的性质与判定
◇典例8：（2023·山东青岛·统考三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
◆变式训练
1．（2023·河北承德·统考一模）如图，4幅图中的，，则下列叙述错误的是（ ）
A．图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线
B．在图甲、图乙、图丙中，
C．图甲中所作的三段弧的半径是相同的
D．图丁中
2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例9：（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
2．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
◇典例10：（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．
■考点三 勾股定理与逆定理及其应用
◇典例11：（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
◆变式训练
1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）
3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
◇典例14：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
◆变式训练
1. （2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
◇典例13：（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．
◆变式训练
1．（2024·上海普陀·统考一模）如图，和都是直角三角形，，，、相交于点，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
◇典例13：（2023·广东广州·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒； 素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．
◆变式训练
1. （2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（ ）
A． B． C． D．
■考点四 直角三角形的性质及计算
◇典例15：（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．
◇典例16：（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．
(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)若，求的长．
◆变式训练
1．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
◇典例17：（2023·湖南郴州·统考中考真题）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
◆变式训练
1．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·湖南永州·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
6．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则 ．（结果保留根号）
7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
8．（2021·北京中考真题）《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．
9．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
10．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段的长为 ；（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
11．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；(2)若时，求的长；(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
1．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．由弧②可以判断出 B．弧③和弧④所在圆的半径相等
C．由弧①可以判断出 D．的内心和外心都在射线上
2．（2023·山东德州·统考一模）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )
A． B． C． D．
3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
4．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2023·浙江温州·统考二模）在中，比较与的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点为圆心，为半径作圆弧，分别交，于点，，若，，，则的长为 ．
7．（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E，过点C作，垂足为点D，与相交于点F，若，则的度数为 ．
8．（2023·湖南·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
9．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．（1）若，则的度数为 ；
（2）过点O作于点F，，则的周长为 ．
10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知，点为射线上的定点，点为射线上的动点（不与，重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，，过点作的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)如图1，当点在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：；
(2)当点在射线上运动时，用等式表示线段，和的关系，并证明．
11．（2022·福建泉州·校考模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线．
12．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．
求作：等腰，使得点C在射线上．
作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．
作法二：如图2．
①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；
③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线交射线于点C．
作法三：如图3，
①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；
②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：
由作法一可知：______，∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的______．
∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．
1．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（ ）
A．56 B． C． D．
2．（2023·湖北·统考中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．
4．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
5．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F．
(1)求的度数；(2)以C为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，点N为的中点，连接．①依题意补全图形；②若，求k的值．
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