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第四章 三角形及四边形
第三节 锐角三角函数及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数 ☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
考点2 解直角三角形 ☆☆
考点3 解直角三角形的应用 ☆☆☆
■考点一 锐角三角函数
1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
3）特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
4）锐角三角函数的性质
当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大 ；cos A随∠A的增大而减小 ；tan A随∠A的增大而增大 。
■考点二 解直角三角形
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的过程中，常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
■考点三 解直角三角形的应用
1）解直角三角形的相关的名词、术语：
（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。
（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
3）测量物体的高度（距离）的常见模型：
（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。
（2）测量底部可以到达的物体高度
解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。
（3）测量底部不可到达的物体的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。
■易错提示
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如 tan A、sin a、cos A；若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。
2. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条线段长的比。因此,锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关。
3. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。
■考点一 锐角三角函数
◇典例1：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：；故选C．
【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在中，，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义求解．
【详解】解：，，，，．故选：D．
【点睛】本题考查正弦的定义，勾股定理，解题关键是掌握正弦的定义．
2．（2023·浙江校考一模）如图，在中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理得出的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，．故选：C．
◇典例2：（2023年青海省西宁市中考数学真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，
∵,∴，则，故选：
【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可得，，再根据三角函数的定义，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴为直角三角形，如下图：
由三角函数的定义可得，，即
可得A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，故选：A
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
2．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
3．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在中，，则的长为（ ）
A．4.5 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：，，
，，．故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数定义，关键掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．
◇典例3：（2023年广东省深圳市中考数学真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】，故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·广东清远·统考二模）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值．
【详解】解：．故答案为：．
2．（2023·广东清远·统考三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
◇典例4：（2023·安徽·统考一模）在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵∴，
∴，∴，∴，
∴，∴ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．
◆变式训练
1.（2023·江苏盐城·校考一模）已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可．
【详解】解：，锐角的度数为，故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键．
2．（2023·贵州·统考模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．
【详解】∵，都是锐角，且，，∴，，
∴，∴的形状是直角三角形．故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
◇典例5：（2023·重庆·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0【答案】B
【分析】如图，作半径为的，均为直径， 都在上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案．
【详解】解：如图，作半径为的，均为直径，
都在上， 由
显然，＜，而＜，
所以当时，随的增大而增大，故A正确；
同理可得：当时，cos随的减小而增大，故B错误；
当时，tan随的增大而增大，故C正确；
当，当点逐渐向移动，边逐渐接近，逐渐接近
当时，0【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·四川成都·校考模拟预测）比较大小： （填“”“”）．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
【详解】∵．
在锐角范围内，随的增大而增大，
∴，∴．故答案为：＜．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．
2．（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，，；
当时，，，，；
当，，，，，
综上所述，与的差不能确定，故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
【分析】，，由此判断得到正确答案．
【详解】解：∵，，
∴∴ 故选：
【点睛】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．
■考点二 解直角三角形
◇典例6：（2023年湖南省益阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．
【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，
∵，，，∴，，，
∴，∴；故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．
【答案】3
【分析】连接，先说明，然后利用相似三角形的性质得到，然后得到，进而利用勾股定理的逆定理证明出，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可．
【详解】连接，∵∴∴∴，即
∵，∴∴
∴在中，．故答案为：3．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023·云南昆明·统考二模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：如图：，根据正弦的定义可得：．故选A．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦是直角三角形的对边与斜边之比成为解答本题的关键．
3．（2023·湖南株洲·校联考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
则，
故答案为：．
◇典例7：（2023年浙江省杭州市中考数学真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】设，，∵，，
∴，即，∴，整理得，∴，
∵，∴，
∴正方形的面积为，∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，∴，∴解得．故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于 ．
【答案】
【分析】根据已知可得大正方形的边长和小正方形的边长，再设三角形的长直角边为a,短直角边为b,从而可得a与b的关系式，进而可得a与b的长度，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，设三角形的长直角边为a，短直角边为b，
由题意得：解得： ，故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．
2．（2023·浙江绍兴·校联考）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形；先设出直角三角形的边长，然后根据“弦图”中大正方形面积为，，可以求得三角形的三边长，然后即可得到小正方形的边长，从而可以求得小正方形的面积．
【详解】解：设直角三角形长的直角边长为，短的直角边长为，斜边为，
“弦图”中大正方形面积为，，，解得，
小正方形的边长为，小正方形的面积为，故答案为：．
◇典例8：（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
【答案】
【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果．
【详解】解：过点A作于H，∵是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∵ ，
∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江·校考二模）如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出的半径，求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．
【详解】解：连接，过作于，设的半径为，
，过，，，
由勾股定理得：，即，解得：，即，
为的直径，，，
，，，解得：，
由勾股定理得： ，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出CE的长度是解此题的关键．
2．（2023·河北保定·校考一模）如图已知中，，，将沿过点A的直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求得，，由折叠的性质可知，，，，在中，由勾股定理得到 ，解得，根据正切的定义即可得到答案．
【详解】解：设，∵中，，，∴，
∴，
由折叠的性质可知，，，，
在中，，则，
解得，∴，故选：A
【点睛】此题考查了折叠性质、勾股定理、求正切函数值、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握折叠性质、勾股定理是解题的关键．
3．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知正方形中，，点E为直线上一点，，连接．则的值为 ．
【答案】或
【分析】由正方形性质， ，，得；分情况讨论：若点E在线段上，可求，，于是；若点E在线段延长线上，可求，，，于是．
【详解】解：正方形中，，∴.
若点E在线段上，则
∴.∴.∴；
若点E在线段延长线上，则，∴.
∴.∴．
∴的值为或．
【点睛】本题考查正方形的性质，正弦的定义；根据正方形性质求解相关线段是解题的关键．
◇典例9：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·云南昆明·校考三模）在中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：∵，，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．
2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，∵，∴．
∵，∴．∵为锐角，∴．
∵
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
3．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：在中， CD=asinB 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，
在中，，在中，，，；
(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
■考点三 解直角三角形的应用
◇典例10：（2023年山东省济南市中考数学真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为(2)没有危险,详见解析
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点
在中∵，∴ ∴
∵平行线间的距离处处相等 ∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：过作，垂足为点
∵，∴
∵∴
在中，∴．
∵平行线间的距离处处相等∴到地面的距离为．
∵ ∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点，
∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，在中，，，
∴；∴，
在中，，，∴；
∴（米）；故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
2．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形，四边形均为矩形，∴，，，
∴，∴，
在中，，∵，
∴，
在中，，∵，
∴，∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
◇典例11：（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．
(1)求自动扶梯的长度；(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)25米(2)米
【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
【详解】（1）解：过D作于M，如图：
在中，，∵(米)，∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如图，过点D作于N，
∵，∴四边形是矩形，
∴(米)，(米)，
由题意，(米)，
∵，∴，
∴(米)，（米），
由题意，，(米)，∴，
∴(米)，∴米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，，在中，，
，，灯塔的高度AD大约是．故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
2．（2023年山东省泰安市中考数学真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
【答案】55
【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，由题意得，，
∴四边形是矩形，∴，设，则，
在中，，∴，
在中，，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案为：55．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
3．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）
【答案】铜像的高度是；
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴铜像的高度是；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．
◇典例12：（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】千米
【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由垂线段最短可知，的长即为所求，
由题意得：，千米，
，，，
，是等腰直角三角形，，
在中，千米，千米，
千米，在中，千米，
答：输油管道的最短长度是千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
◆变式训练
1．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
【答案】B处距离灯塔P大约有．
【分析】在中，求出的长，再在中，求出即可．
【详解】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，∵，∴；
在中，，∵，∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．（2023年山东省聊城市中考数学真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为．
【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意得，，，，，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，即，
∵，∴，即，
∵，，
∴，解得：，∴，
答：明珠大剧院到龙堤的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
◇典例13：（2023年山西省中考数学真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
【答案】的长约为的长约为．
【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，
∴．
由题意得，在中，．
∴．∴．
由题意得，，四边形是矩形．∴．
∵，∴．
∴在中，．
∵．∴．
∴，∴．
答：的长约为的长约为．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
◆变式训练
1．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
【答案】19.2米
【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，
则四边形为矩形，∴米，．
∴．∴．
中，，（米）．
∴（米）．
中，，∴（米）．
∴（米）．故答案为：19.2米．
【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键．
2．（2023年湖北省中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．∴．
∵，∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
1．（2023年吉林省长春市中考数学真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆，
，为直角三角形，（米）.故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.
2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E
∴，，∴，，
∵是锐角三角形，∴，即，∴满足条件的长可以是6，故选：C．
【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．
3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解．
【详解】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
，则，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
4.（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，∴，
取点，则是的中位线，∴，
∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，∴，∴，
∴，∴，∴
设，,则∴ ∴
∴解得：∴
∴的最大值为，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．
5．（2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．
【答案】/
【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．
【详解】解： ，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，在中，．
【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．
6．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．（1）若，，则的长是 cm．（2）若，则的值是 ．
【答案】 4 3
【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长；
（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，即，即，
∵，∴，故答案为：4；
（2）设，∵，∴可设，，
∵四边形是正方形，∴，
∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，，
∵四边形对角互补，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∴，∴，
∴，即，整理得：，
解得，（舍去），∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
7．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，设，则，
在中，，即：，解得：，即：，故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
8．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又和均为等腰直角三角形，，，
，，，
，，，四边形为矩形，
，，，，
为等腰直角三角形，，设，则，
，，
在中，，即：，，解得：，
检验：是原方程的根．，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，，答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
9．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）
【答案】的长约为
【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ．
【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，
由题意得：，，，，
设，，则，
在中，，
在中，，
，解得：，,
，，
在中，，，
，，的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键．
10．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：
，，
，，，
，，，，解得；
[活动探究]如图所示：
，，，，
，，，
，，解得；，，
，，
，，，
，，解得；；
[应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，，
，，即，
，，
，，即，
，，，
由题意得：，
，，，
设，，则，，
，，解得：（负值已舍去），
，，
，，同【问题背景】得：，
，，解得：，，
答：信号塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
11．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程
【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解．
【详解】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵（米），∴（米），
∵在中，，（米），∴（米），
∴（米），∴（米），
∴（米），即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键．
12．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可．
【详解】解：方法一：过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，，
，
过点作于点，由题意知，，，
又，，
过作于点，，，,
，靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，，，，
又，，，
，
过作于，由题意知，，，
又，，
靠背顶端点距地面高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
1．（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和，含角的直角三角形的特征，三角形函数的应用，根据三角形内结合题意可得，再根据，得到，利用角的正弦即可得出结论．
【详解】解：，又，即，可得，
所对的边分别为，
，，，，，故选：B．
2．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使△ABC的面积S=BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，
∴S△ABC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，
∴在中，，，∴．故答案为：．
4．（2022·湖南株洲·株洲二中校考一模）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
【答案】
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，
∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴
过点作于，∴
设正六边形的边长为1，则，，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
5．（2023·四川·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，，∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等边三角形．故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
6．（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则 ．
【答案】6
【分析】由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，，，
在中，，即，解得：．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出，进而利用锐角三角函数解决问题．
7．（2023·重庆·中考模拟预测）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
【答案】
【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．
【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，，
又，∴四边形CEDF为正方形，，，
在中，，∵，，
，，，，即，
又，，∵在中，，∴，
∵在中，，∴，
，，，即（舍负），故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
8．（2023·安徽·模拟预测）某校九年级数学兴趣小组为了测量校园附近一座小山的高度，组织了一次测量探究活动．如图所示，先在小山的顶部竖直立着一根6米长的竹竿，小明与同学们在一段斜坡的坡脚处测得竹竿底端的仰角为，沿坡面向上走到处测得竹竿顶部的仰角为．已知山坡的坡度米，点与小山的底部在同一水平面上，求小山的高度．（测角器的高度忽略不计，结果取整数，参考数据：）
【答案】112米
【分析】过点作于点，过点分别作交的延长线于点于点．由四边形为矩形，得．在中，设，则．由勾股定理解得，从而．在、和中，利用三角函数即可求解．
【详解】解：过点作于点，过点分别作交的延长线于点于点．
四边形为矩形，．在中，设，则．
，，解得，．
在中，设，．
在中，，，
．
在中，，，解得，
（米）．答：小山的高度约为112米．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形以及等腰三角形的判定，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
9．（2023·四川眉山·统考模拟预测）东坡泡菜文化广场占地38亩，以泡菜产业为主题展示了眉山泡菜的历史与文化．泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛“，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点处用测角仪测得其坛顶端的仰角为，再由点走8米到点处，测得其坛顶端的仰角为．已知、、三点在一条直线上，测角仪的高度米．求天下第一道菹坛的高．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】天下第一菹坛的高为15米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，以及熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．过点作的垂线，垂足为点，易得米，米，根据，，得出，根据，求出米，结合米，即可求解，
【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，
由题意，知，，
，四边形，四边形和四边形都是矩形，
米，米，
在中，，，，
在中，，（米，
，，即，解得（米，
米，米．答：天下第一菹坛的高为15米．
10．（2024·上海普陀·统考一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】山坡AB的坡度
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，
在中，，∵，∴，
在中，，∵，∴，
∵，∴，解得：，
∴（米），∴，∴山坡的坡度为：．
1．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
【答案】
【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵平分交于点，∴,∴∴
∵折叠，∴，∴,
又∵∴∴∴
∵，，则，∴∴，，
∵设，，则，则，
∵∴
在中，；在中，
∴即解得：
∴，则
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．
【答案】(1)(2)风叶的长度为米
【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四边形是矩形，∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，
∴米，∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
3．（2023年广东广州中考数学真题）如图，是菱形的对角线．
(1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接，；①求证：；②若，求的值．
【答案】(1)作法、证明见解答；(2)①证明见解答；②的值是．
【分析】（1）由菱形的性质可知，将绕点逆时针旋转得到，也就是以为一边在菱形外作一个三角形与全等，第三个顶点的作法是：以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；
（2）①由旋转得，，，则，，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
②延长交于点，可证明，得，而，所以，由等腰三角形的“三线合一”得，则，设，，则，所以，，由勾股定理得，求得，则．
【详解】（1）解：如图1，就是所求的图形．
．
（2）证明：①如图2，由旋转得，，，
，，，．
②如图2，延长交于点，
，，，，，
，，
，，，设，，
，，，
，，解关于的方程得，
，，的值是．
【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
4．（2022·四川自贡·中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．
【答案】(1)证明见解析(2)10.2米(3)米
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、m的式子表示出PH．
(1)证明：∵∴∴
(2)由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，
在Rt△POQ中tan∠POQ=∴
∴（米）故答案为：10.2米．
(3)由题意得：，
由图得： ，
∴∴∴
∴米故答案为：米
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：
（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是_______．(2)若角的终边与直线重合，则________．
(3)若角是锐角，其终边上一点且，则________．
(4)若，则的取值范围是________．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；
（3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题；
（4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴，
∵，∴，
∴取正值的是；故答案为：
（2）解：如图1中，
①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则，
∴．
②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则，
∴．
综上所述， 或；故答案为：或；
（3）解：如图2中，作轴于E．
由题意， ，∴，
∴，∴；
（4）解：根据题意得：，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
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第四章 三角形及四边形
第三节 锐角三角函数及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 锐角三角函数 ☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
考点2 解直角三角形 ☆☆
考点3 解直角三角形的应用 ☆☆☆
■考点一 锐角三角函数
1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 ．（其中：0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
3）特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30° . . .
45° . . .
60° . . .
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
4）锐角三角函数的性质
当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而 ；cos A随∠A的增大而 ；tan A随∠A的增大而 。
■考点二 解直角三角形
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的过程中，常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系： ； （2）两锐角关系：∠A+∠B= ；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A= ．
■考点三 解直角三角形的应用
1）解直角三角形的相关的名词、术语：
（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 。
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做 。
（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 ．
（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的 ，记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做 ，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
3）测量物体的高度（距离）的常见模型：
（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。
（2）测量底部可以到达的物体高度
解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。
（3）测量底部不可到达的物体的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。
■易错提示
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如 tan A、sin a、cos A；若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。
2. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条线段长的比。因此,锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关。
3. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。
■考点一 锐角三角函数
◇典例1：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·湖南衡阳·校考模拟）在中，，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江校考一模）如图，在中，，则 （ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023年青海省西宁市中考数学真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
◆变式训练
1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在中，，则的长为（ ）
A．4.5 B．5 C． D．
◇典例3：（2023年广东省深圳市中考数学真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
◆变式训练
1．（2023·广东清远·统考二模）计算： ．
2．（2023·广东清远·统考三模）计算：．
◇典例4：（2023·安徽·统考一模）在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
◆变式训练
1.（2023·江苏盐城·校考一模）已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023·贵州·统考模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
◇典例5：（2023·重庆·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0◆变式训练
1．（2023·四川成都·校考模拟预测）比较大小： （填“”“”）．
2．（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
■考点二 解直角三角形
◇典例6：（2023年湖南省益阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．
2．（2023·云南昆明·统考二模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·湖南株洲·校联考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是 ．
◇典例7：（2023年浙江省杭州市中考数学真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于 ．
2．（2023·浙江绍兴·校联考）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ．
◇典例8：（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
◆变式训练
1．（2023·浙江·校考二模）如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为( )
A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·校考一模）如图已知中，，，将沿过点A的直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知正方形中，，点E为直线上一点，，连接．则的值为 ．
◇典例9：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·云南昆明·校考三模）在中，，，则 ．
2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
3．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：在中， CD=asinB 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
■考点三 解直角三角形的应用
◇典例10：（2023年山东省济南市中考数学真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
◆变式训练
1．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）
2．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
◇典例11：（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．
(1)求自动扶梯的长度；(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）
◆变式训练
1．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
2．（2023年山东省泰安市中考数学真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
3．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）
◇典例12：（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
◆变式训练
1．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
2．（2023年山东省聊城市中考数学真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
◇典例13：（2023年山西省中考数学真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
◆变式训练
1．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
2．（2023年湖北省中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
1．（2023年吉林省长春市中考数学真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
3．（2023年山东省淄博市中考数学真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．
6．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．（1）若，，则的长是 cm．（2）若，则的值是 ．
7．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
8．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
9．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）
10．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
11．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
12．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
1．（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．
4．（2022·湖南株洲·株洲二中校考一模）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
5．（2023·四川·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
6．（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则 ．
7．（2023·重庆·中考模拟预测）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
8．（2023·安徽·模拟预测）某校九年级数学兴趣小组为了测量校园附近一座小山的高度，组织了一次测量探究活动．如图所示，先在小山的顶部竖直立着一根6米长的竹竿，小明与同学们在一段斜坡的坡脚处测得竹竿底端的仰角为，沿坡面向上走到处测得竹竿顶部的仰角为．已知山坡的坡度米，点与小山的底部在同一水平面上，求小山的高度．（测角器的高度忽略不计，结果取整数，参考数据：）
9．（2023·四川眉山·统考模拟预测）东坡泡菜文化广场占地38亩，以泡菜产业为主题展示了眉山泡菜的历史与文化．泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛“，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点处用测角仪测得其坛顶端的仰角为，再由点走8米到点处，测得其坛顶端的仰角为．已知、、三点在一条直线上，测角仪的高度米．求天下第一道菹坛的高．（参考数据：，，，结果保留整数）
10．（2024·上海普陀·统考一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
1．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
2．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．
3．（2023年广东广州中考数学真题）如图，是菱形的对角线．
(1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接，；①求证：；②若，求的值．
4．（2022·四川自贡·中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．
5．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：
（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是_______．(2)若角的终边与直线重合，则________．
(3)若角是锐角，其终边上一点且，则________．
(4)若，则的取值范围是________．
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