7.4 正切函数的图像与性质 教学设计
文档属性
| 名称 | 7.4 正切函数的图像与性质 教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 272.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 21:23:46 | ||
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文档简介
《正切函数的图像与性质》教学设计
一、教学目标
1、理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质。
2、在探究正切函数基本性质和图像的过程中，体验类比、数形结合等数学思想方法。
3、养成严谨的思维习惯，逐步提高逻辑推理、直观想象的核心素养。
二、教学重点 正切函数的图像与基本性质
三、教学难点 正切函数的最小正周期的理解 正切函数单调性的认识
四、核心知识 核心概念：正切函数的定义
核心方法：类比研究正切函数性质的思维方法
核心思想：研究函数性质中数形结合的思想方法
核心素养：逻辑推理、直观想象的核心素养
五、教学方法 探究体验、合作学习
六、教学流程图
教师：创设问题情境 启发探求思路 多元评价 理性概括
程序：
学生：接受问题挑战 自主探究 汇报交流 自主构建
七、教学过程
（一）、设置疑问，引入新课
1、正切函数的定义
对下列给出的正切函数的概念作比较，在比较中掌握正切函数的概念。
有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数：
对于任意一个实数，都有唯一确定的值与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为，叫做正切函数．
大家认为这个定义是否完善？ 强调：．
设计意图：，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取的理由)。
今天我们就要研究正切函数（）的图像与性质．
2、（前面）我们是怎样研究正弦函数的图像与性质的？
前面，我们在研究正弦函数的图像与性质是先作出正弦函数的图像，然后再由图像得到它的性质。今天，我们想改变一种研究的思路，即：先研究它的性质，然后在作它的图像。
（二）、主动探究，学习新知
1、利用定义，研究函数的性质 （学生自主研究探索正切函数的性质）
性质（1）定义域：．
性质（2）值域：R
说明：利用正切线得到正切函数的值域。
性质（3）奇偶性：奇函数．
说明：利用奇函数的定义得出结论。
性质（4）周期性：是最小正周期．
说明：学生会利用，得到是函数的周期后教师提问：能否说明是最小正周期？ 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？（留作课后思考）
反证法：假设存在是的周期，
则都有．
取，则．．，这与矛盾．从而，是正切函数的最小正周期．
我们已经知道了正切函数的一些基本性质，根据这些性质，你能勾画出正切函数的大致图像吗？
（三）结合性质，作出函数的图像
（1）自变量区间的选择。
说明：学生可能会作出下列的选择。
a、按周期选择、等；
b、按奇偶性选择。
根据学生的选择教师引导学生讨论，自变量区间的选择最好保证能够作出较为完整的图像，最后形成统一认识。
（2）利用计算器让学生感受正切函数的变化特点。
（3）借助于正切线，学生自主画出正切函数在上的图像。
（4）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右平移，得到正切函数
的图像．
（5）教师引导学生观察图象的特点，归纳出在要求不高的情况下作正切函数在上的简图画法：
三点；两线
（四）阅读课本，再议图像与性质
（1）观察图像，进一步理解性质。
思考下列问题，并说出理由。
1. 平行的虚线与正切函数的图像是否有交点？为什么？
2. 正切函数的单调性？你能从代数的角度去验证吗？
2. 正切函数的图像关于什么点对称？
（2）阅读课本，比较研究函数图像与性质的两个基本方法（先图后性质；先性质后图像）的特点。认识并掌握研究一个函数的图像与性质的两个基本方法。
思考下列问题，并说出理由。
（五）解决问题，巩固基础
例1．已知函数y=tanx，
（1）若,求y的取值范围；（2）若,求y的取值范围．
说明：
利用函数在区间上单调递增得到答案．
把y=tanx在区间上的图像不断向左、右扩展，也可得到正切函数的图像．因此， 有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的．也可以对照说明，作正切函数图时选择的合理性．
例2．写出使不等式成立的x的集合．
说明：先求在上满足条件的，然后扩展到整个定义域．函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，通过例题提醒学生重视数形结合的思想方法．
例3、研究函数的基本性质． 改为呢？
说明：大多数同学能够掌握的图像可以通过的图像向左平移个单位得到，从而方便地结合图像研究性质．
研究的性质要困难的多．希望同学能类比研究正弦、余弦函数时的方法解决，必要时通过代换来解决．
（六）总结思考，提高能力
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
（1） 理解了正切函数的定义；理解了正切函数的图像特征；掌握了正切函数的基本性质．
（2）运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想．
（七）分层作业，巩固拓展
1、全体同学完成课本95页第4、5题．
2、每位同学结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并选择下列问题中的1——2个问题进行研究。
（1）函数和是同一个函数吗？
（2）研究函数的基本性质．
（3）研究函数的基本性质，作出大致图像．
（4）联想祖暅原理，我们得到：“夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意一条直线所截，如果截得的两条线段的长相等，那么这两个平面图形的面积相等。”请研究下列问题：设函数，请求出和与两条直线所围成的平面图形的面积。
附件一 《正切函数的图像与性质》学习任务工作单
一、学习任务
1、理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质。
2、在探究正切函数基本性质和图像的过程中，体验类比、数形结合等数学的思想方法。
3、养成严谨的思维习惯，逐步提高自己发现问题、提出问题、解决问题的能力。
二、任务学习
（一）概念学习：
正弦函数的概念：对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的正弦值 sin 与之对应. 按
照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作 =sin .
正切函数的概念
（二）正切函数的图像与性质的探究
序号 性质名称
1 定义域
2 值 域
3 最 值
4 奇偶性
5 周期性
6 单调性
7
8
（三）问题研究
例1．已知函数y=tanx，
（1）若,求y的取值范围；（2）若,求y的取值范围．
例2．写出使不等式成立的x的集合．
例3、研究函数的基本性质．
（四）小结交流 （思考今天的学习任务，将收获与同学交流。）
（五）拓展训练
1、完成课本95页第4、5题．
2、结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并选择下列问题中的1——2个问题进行研究。
（1）函数和是同一个函数吗？
（2）研究函数的基本性质．
（3）研究函数的基本性质，作出大致图像．
（4）联想祖暅原理，我们得到：“夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意一条直线所截，如果截得的两条线段的长相等，那么这两个平面图形的面积相等。”请研究下列问题：设函数，请求出和与两条直线所围成的平面图形的面积。
提出问题
分析问题
解决问题
理性归纳
提出新问题……
1
第 4 页 共 9 页
一、教学目标
1、理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质。
2、在探究正切函数基本性质和图像的过程中，体验类比、数形结合等数学思想方法。
3、养成严谨的思维习惯，逐步提高逻辑推理、直观想象的核心素养。
二、教学重点 正切函数的图像与基本性质
三、教学难点 正切函数的最小正周期的理解 正切函数单调性的认识
四、核心知识 核心概念：正切函数的定义
核心方法：类比研究正切函数性质的思维方法
核心思想：研究函数性质中数形结合的思想方法
核心素养：逻辑推理、直观想象的核心素养
五、教学方法 探究体验、合作学习
六、教学流程图
教师：创设问题情境 启发探求思路 多元评价 理性概括
程序：
学生：接受问题挑战 自主探究 汇报交流 自主构建
七、教学过程
（一）、设置疑问，引入新课
1、正切函数的定义
对下列给出的正切函数的概念作比较，在比较中掌握正切函数的概念。
有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数：
对于任意一个实数，都有唯一确定的值与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为，叫做正切函数．
大家认为这个定义是否完善？ 强调：．
设计意图：，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取的理由)。
今天我们就要研究正切函数（）的图像与性质．
2、（前面）我们是怎样研究正弦函数的图像与性质的？
前面，我们在研究正弦函数的图像与性质是先作出正弦函数的图像，然后再由图像得到它的性质。今天，我们想改变一种研究的思路，即：先研究它的性质，然后在作它的图像。
（二）、主动探究，学习新知
1、利用定义，研究函数的性质 （学生自主研究探索正切函数的性质）
性质（1）定义域：．
性质（2）值域：R
说明：利用正切线得到正切函数的值域。
性质（3）奇偶性：奇函数．
说明：利用奇函数的定义得出结论。
性质（4）周期性：是最小正周期．
说明：学生会利用，得到是函数的周期后教师提问：能否说明是最小正周期？ 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？（留作课后思考）
反证法：假设存在是的周期，
则都有．
取，则．．，这与矛盾．从而，是正切函数的最小正周期．
我们已经知道了正切函数的一些基本性质，根据这些性质，你能勾画出正切函数的大致图像吗？
（三）结合性质，作出函数的图像
（1）自变量区间的选择。
说明：学生可能会作出下列的选择。
a、按周期选择、等；
b、按奇偶性选择。
根据学生的选择教师引导学生讨论，自变量区间的选择最好保证能够作出较为完整的图像，最后形成统一认识。
（2）利用计算器让学生感受正切函数的变化特点。
（3）借助于正切线，学生自主画出正切函数在上的图像。
（4）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右平移，得到正切函数
的图像．
（5）教师引导学生观察图象的特点，归纳出在要求不高的情况下作正切函数在上的简图画法：
三点；两线
（四）阅读课本，再议图像与性质
（1）观察图像，进一步理解性质。
思考下列问题，并说出理由。
1. 平行的虚线与正切函数的图像是否有交点？为什么？
2. 正切函数的单调性？你能从代数的角度去验证吗？
2. 正切函数的图像关于什么点对称？
（2）阅读课本，比较研究函数图像与性质的两个基本方法（先图后性质；先性质后图像）的特点。认识并掌握研究一个函数的图像与性质的两个基本方法。
思考下列问题，并说出理由。
（五）解决问题，巩固基础
例1．已知函数y=tanx，
（1）若,求y的取值范围；（2）若,求y的取值范围．
说明：
利用函数在区间上单调递增得到答案．
把y=tanx在区间上的图像不断向左、右扩展，也可得到正切函数的图像．因此， 有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的．也可以对照说明，作正切函数图时选择的合理性．
例2．写出使不等式成立的x的集合．
说明：先求在上满足条件的，然后扩展到整个定义域．函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，通过例题提醒学生重视数形结合的思想方法．
例3、研究函数的基本性质． 改为呢？
说明：大多数同学能够掌握的图像可以通过的图像向左平移个单位得到，从而方便地结合图像研究性质．
研究的性质要困难的多．希望同学能类比研究正弦、余弦函数时的方法解决，必要时通过代换来解决．
（六）总结思考，提高能力
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
（1） 理解了正切函数的定义；理解了正切函数的图像特征；掌握了正切函数的基本性质．
（2）运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想．
（七）分层作业，巩固拓展
1、全体同学完成课本95页第4、5题．
2、每位同学结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并选择下列问题中的1——2个问题进行研究。
（1）函数和是同一个函数吗？
（2）研究函数的基本性质．
（3）研究函数的基本性质，作出大致图像．
（4）联想祖暅原理，我们得到：“夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意一条直线所截，如果截得的两条线段的长相等，那么这两个平面图形的面积相等。”请研究下列问题：设函数，请求出和与两条直线所围成的平面图形的面积。
附件一 《正切函数的图像与性质》学习任务工作单
一、学习任务
1、理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质。
2、在探究正切函数基本性质和图像的过程中，体验类比、数形结合等数学的思想方法。
3、养成严谨的思维习惯，逐步提高自己发现问题、提出问题、解决问题的能力。
二、任务学习
（一）概念学习：
正弦函数的概念：对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的正弦值 sin 与之对应. 按
照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作 =sin .
正切函数的概念
（二）正切函数的图像与性质的探究
序号 性质名称
1 定义域
2 值 域
3 最 值
4 奇偶性
5 周期性
6 单调性
7
8
（三）问题研究
例1．已知函数y=tanx，
（1）若,求y的取值范围；（2）若,求y的取值范围．
例2．写出使不等式成立的x的集合．
例3、研究函数的基本性质．
（四）小结交流 （思考今天的学习任务，将收获与同学交流。）
（五）拓展训练
1、完成课本95页第4、5题．
2、结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并选择下列问题中的1——2个问题进行研究。
（1）函数和是同一个函数吗？
（2）研究函数的基本性质．
（3）研究函数的基本性质，作出大致图像．
（4）联想祖暅原理，我们得到：“夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意一条直线所截，如果截得的两条线段的长相等，那么这两个平面图形的面积相等。”请研究下列问题：设函数，请求出和与两条直线所围成的平面图形的面积。
提出问题
分析问题
解决问题
理性归纳
提出新问题……
1
第 4 页 共 9 页