2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学试题

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2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试
数 学 试 题
本试卷包括三个大题，共6页，满分120分，考试时量90分钟。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是
A．30cm2 B．30πcm2 C．15cm2 D．15πcm2
2. 一个不透明的口袋里装有除颜色都相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有________个【出处：21教育名师】
A、45 B、48 C、50 D、55
3. 已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长为和，则与之间的函数图像大致是
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
4. 要使分式的值为0，你认为x可取得数是
　 A． 9 B． ±3 C． ﹣3 D． 3
　5. 若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是
　 A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
6. 如图，点P（a，a）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA的面积是
　 A． 3 B． 4 C． D．
7. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为 　　21*cnjy*com
　 A． B． C． D．
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第6题图 ( http: / / www.21cnjy.com ) 第7题图
8. 如图2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2xA、 B、 C、 D、
第8题图 第9题图
9. 如图3所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac>0 (2)c>1 (3)2a-b<0 (4)a+b+c<0,其中错误的有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10．已知点A（0，0），B（0，4），C ( http: / / www.21cnjy.com )（3，t+4），D（3，t）. 记N（t）为□ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
题序21世纪教育网 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 已知，则=_________。
12. 如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=________°.21教育网
13. 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=__________．
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第13题图
14. 下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是______________．21·世纪*教育网
15. 如图，一个正比例函数图像与一次函数的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是____________.www.21-cn-jy.com
三、解答题（每小题12分，共60分）
16. （1）计算：。
（2）先化简，再求值：，其中。
17. 近年来，中学生的身 ( http: / / www.21cnjy.com )体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图．21·cn·jy·com
组别 A B C D E
时间t（分钟） t＜40 40≤t＜60 60≤t＜80 80≤t＜100 t≥100
人数 12 30 a 24 12
（1）求出本次被调查的学生数；
（2）请求出统计表中a的值；
（3）求各组人数的众数；
（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．
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18. 如图，马路的两边CF、DE互相 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°www-2-1-cnjy-com
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米2-1-c-n-j-y
（参考数据：，，，
，，）
19. 如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．
（1）求OD、OC的长；
（2）求证：△DOC∽△OBC；
（3）求证：CD是⊙O切线．
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20. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．2·1·c·n·j·y
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21. 如图10，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式。
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。【来源：21cnj*y.co*m】
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。【版权所有：21教育】
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2015年长沙市名校大联盟新高一年级开学分班统一考试数学参考答案
1.B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. D 7. A 8. A 9. A 10.C
11. 1 12. 45 13.　20　14.　　 15. y＝－2x
16. （1）
（2）
17答：21世纪教育网 解：（1）12÷10%=120（人）；（2）a=120﹣12﹣30﹣24﹣12=42；（3）众数是12人；（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：2400×=1560（人）．
18. 解析：
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19： （1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，∴∠OAD=∠OBC=90°，在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，根据勾股定理得：OD==，OC==；21世纪教育网（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=，在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC==，∵===，∴△DOC∽△OBC；（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，∵△DOC∽△OBC，∴∠BCO=∠FCO，∵在△BCO和△FCO中，，∴△BCO≌△FCO（AAS），∴OB=OF，则CD是⊙O切线． ( http: / / www.21cnjy.com )
20： 解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y=x2﹣6x+5．（2）在y=x2﹣6x+5中，令y=﹣3，即x2﹣6x+5=﹣3，整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4．（3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2．∴M（﹣3，0），N（0，﹣6），∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3，∴tan∠MNO==，sin∠MNO==．设点C坐标为（x，y），则y=x2﹣6x+5．过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，在Rt△CDF中，DF=CD tan∠MNO=x，CF====x．∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x．在Rt△EFN中，EF=FN sin∠MNO=（6+y﹣x）．∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x），∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x2﹣4x+11）=（x﹣2）2+，∴当x=2时，CE有最小值，最小值为．当x=2时，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．△ABC的最小面积为：AB CE=×2×=．∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为． ( http: / / www.21cnjy.com )
21. 解：（1）由A（－2，0），B（-3，3），O（0，0）可得解析式：
（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知DE=AO=2，
若D在对称轴直线x=-1左侧，
则D横坐标为-3，代入抛物线解析式得D1（-3，3）
若D在对称轴直线x=-1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）21世纪教育网版权所有
（3）存在，如图：
∵B（-3，3），C（-1，-1），
根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，
∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是直角三角形且.
设P（m，）
当P在x轴下方，则-2若，则，
∴m=-2（舍）或者m=-3（舍）
若，则，
∴m=-2（舍）或者m=，
∴P1（，）[来源:21世纪教育网]21cnjy.com
当P在x轴上方，则m<-2,
若，则，
∴m=-2（舍）或者m=-3，
∴P2（-3，3）
若，则，
∴m=-2（舍）或者m=（舍）【来源：21·世纪·教育·网】
综上所述：符合条件的P有两个点：P1（，），P2（-3，3）
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第15题图
（第12题图）
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