山东省英雄山中学2008-2009学年度高三年级质量检测数学试题（理科）

山东省英雄山中学2008—2009学年度高三年级质量检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简= （ ）
A． B． C． D．
2．设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），在某项测量中，已知ξ在内取值的概率为0.025，则= （ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
3．已知命题p：“”，命题q：“”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
4．右面程序运行后，输出的值是（ ）
A．42 B．43
C．44 D．45
5．设A、B、C、D是空间四个不同的点，
在下列命题中，不正确的是 （ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
6．若的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足的最小值为—1，则实数m等于
（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
8．按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知等于 （ ）
A．—9 B．—3 C．3 D．9
10．已知曲线，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知数列是等差数列，若它的前n项和Sn有最小值，且成立的最小自然数n的值为 （ ）
A．21 B．20 C．19 D．11
12．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处
有一棵树与两墙的距离分别是、4m，
不考虑树的粗细。现在想用16m长的篱笆，借助墙角
围成一个矩形的花圃ABCD。设此矩形花圃的面积为
Sm2，S的最大值为，若将这棵树围在花圃内，
则函数的图象大致是 （ ）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题纸的相应位置。
13．在△ABC中，AB=2，，AD为边BC上的高，则AD的长是 。
14．已知平面上不共线的四点O，A，B，C。若等于 。
15．P为双曲线右支上一点，M、N分别是
圆和上的点，
则|PM|—|PN|的最大值为 。
16．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA垂直于底面ABCD，
底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=45°,PA=AB。
则直线AP与平面PBC所成的角的正切值是 。
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。请将解答过程写在答题纸的相应位置。
17．（本小题满分12分）
已知
（I）求函数的单调增区间；
（II）若的值。
18．（本小题满分12分）
已知数列上，其中n=1、2、3…。
（I）令是等比数列；
（II）求数列的通项。
19．（本小题满分12分）
袋中装有大致相同的黑球、白球和红球共10个。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
（I）求袋中各色球的个数；
（II）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ和方差Dξ；
（III）若的值。
20．（本小题满分12分）
如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C
⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。
（I）证明：BD⊥AA1；
（II）求二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；
（III）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
（第20题）
21．（本小题满分12分）
如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线相切。
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）
已知函数
（I）试确定t的取值范围，使得函数上为单调函数；
（II）求证：；
（III）求证：对于任意的，并确定这样的的个数。
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
1—5 DCACD 6—10 ABCBD 11—12 BC
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。
13． 14．2 15．5 16．
三、解答题：本题共6个小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：（I）
（2）由（I）知，
………………12分
18．（本题满分12分）
解：（I） ………1分
（II）
19．（本小题满分12分）
解：（I）因为从袋中任意摸出1球得到黑球之概率是，故设黑球个数为x，则
………………1分
设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则
故袋中白球5个，黑球4个，红球1个。 ………………3分
（II）由题设知ξ的所有球取值是0，1，2，3，则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
………………5分
（III）
20．（本小题满分12分）
解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·AOcos60°=3
∴AO2+A1O2=A1A2
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、
z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）
……………………2分
（Ⅰ）由于
则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D
则
得到……………………6分
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设
则
得
……………………9分
设
则设
得到……………………10分
又因为平面DA1C1
则·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C 1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD
……………………4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以
O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角
……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在这样的点P，连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。
∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分
因B 1 BCC1，……………………12分
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形，则BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1 ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）由题意可知
（II）假设存在满足条件的点
由题意可设直线l的方程为
∴存在满足条件的点N，点N的坐标为（—4，0） ………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（I）因为 …………1分
（II）证：因为处取得极小值e
（III）证：因为，
①当上有解，且只有一解
………………11分
②当，
所以上有解，且有两解
③当上有且只有一解；
y-c-y