第六章 实数
6.2 立方根
1、立方根
（1）一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
这就是说，如果，那么叫做的立方根.
【例】因为，所以的立方根是；
因为，所以的立方根是。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算.
（3）一个数的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，是根指数.如，.
2、立方根的性质
（1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.
（2）立方根的两个重要性质：
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即
②.
3、平方根与立方根的区别和联系
内容 平方根 立方根
区别 性质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数
0 0 0
负数 没有平方根 一个，为负数
表示方法
被开方数的范围 非负数 可以为任何数
联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算
0 的方根 0 的立方根和平方根都是0
4、用计算器求一个数的立方根的方法
一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键．
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【题型一】立方根的概念和性质
【例1.1】已知，则下列说法正确的是（ ）
是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
解：，
是的立方根，故选项A、C、 D均错误； B正确．
故选：B．
【例1.2】下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．任何数的立方根都只有一个
C．负数没有立方根
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意；
B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意；
C.负数有立方根，结论错误，不符合题意；
D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意；
故选：B．
【例1.3】已知的立方根为3，求的立方根.
解：因为的立方根为3，所以，
解得.
所以.
因为，所以的立方根是3.
【例1.4】求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）（）3； （4）．
解：（1）原式＝3；
（2）原式＝0.2；
（3）原式＝﹣9；
（4）原式．
【例1.5】若和互为相反数，则的值为 ．
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【题型二】开立方运算
【例2.1】下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是 B．是的负的立方根
C．的立方根是 D．的立方根是
解：A、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意；
B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；
C、的立方根是，故本选项错误，不合题意；
D、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【例2.2】求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
解：（1）原式6；
（2）原式0.3；
（3）原式；
（4）原式＝4﹣9＝﹣5．
故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）；（4）﹣5．
【题型三】用计算器进行开立方运算
【例3.1】已知，，，聪明的同学你能不用计算器得出．
（1） ．
（2） ．
解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴，
．
【例3.2】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知3.16，则 ；
②已知1.8，若180，则a＝ ；
（3）拓展：已知，若，则z＝ ．
解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【题型四】利用开立方解方程
【例4.1】求下列各式中的x的值．
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8．
解：（1）x3﹣216＝0
x3＝216
x
x＝6；
（2）（x+5）3＝64
x+5
x+5＝4
x＝﹣1；
（3）（x+1）3＝8
x+1
x+1＝2
x＝2．
【题型五】平方根与立方根的综合
【例5.1】若|x﹣1|+（y﹣2）20，则x+y+z的立方根是 ．
解：∵|x﹣1|+（y﹣2）20，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，
解得x＝1，y＝2，z＝3，
∴x+y+z＝1+2+3＝6，
∴x+y+z的立方根是．
故答案为：．
【例5.2】若a2＝16，2，则a+b＝（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
解：∵a2＝16，2，
∴a＝±4，b＝﹣8．
∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4；
当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12．
故选：C．
【例5.3】已知x2＝9，y3，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．
解：∵x2＝9，y3，
∴x＝±3，y，
∵xy＜0，
∴x＝3，y，
∴2x+4y＝2×3+4×（）＝6﹣2＝4，
∴2x+4y的算术平方根是：2．
【题型六】立方根的应用
【例6.1】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米．
解：正方体贮水池的棱长为：
（分米）．
故答案为：．
【例6.2】大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ．
解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为，
∴大立方体的棱长为，小立方体的棱长为，
∴这个物体的最高点到地面的距离是：，
故答案为：8．
1．64的立方根是( )
A．4 B．±4 C．8 D．±8
解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选：A．
2．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
解：∵的立方等于，
∴的立方根等于．
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
解：A．3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
B．﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C．0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D．算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．下列运算中正确的是( )
A． B． C． D．(﹣3)2＝6
解： A．，则A不符合题意；
B．，则B不符合题意；
C．，则C符合题意；
D．(﹣3)2＝9，则D不符合题意；
故选：C．
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：
则输出结果为（ ）
A．8 B．4 C． D．
解：由题意可得：，
故选D．
6．的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
解：原式＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2
故选：D．
7．小明利用计算器得到下表中的数据：
8 8.5 9 9.5 10
64 72.25 81 90.25 100
512 614.125 729 857.375 1000
那么在（ ）
A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间
解：∵，，且，
∴，
故在9.5～10之间，
故选：B．
8．填空：
（1）64的立方根是 ；
（2）的立方根是 ；
（3）26的立方根是 ；
】解：（1）64的立方根是4；
（2）的立方根是；
（3）26的立方根是4；
故答案为：（1）4；（2）；（3）4；
9．若（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 ．
解：∵（b﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
即a＝3，b＝5，
∴a+b＝3+5＝8，
∴a+b的立方根为2，
故答案为：2．
10．一长方体的体积为，它的长、宽、高的比为，则它的表面积为 ．
解：设长方体的长、宽、高分别为：
则：，
解得：，
∴长、宽、高分别为：，
故表面积为： cm2．
故答案为：198．
11．已知1.2639，2.7629，则 ．
解：∵1.2639，
∴
≈﹣0.12639．
故答案为：﹣0.12639．
12．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）（4）．
解：（1）；
（2）；
（3）（4）
＝﹣1﹣6÷6
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
13．解方程：
（1）3（x﹣1）3＝24． （2）．
（1）解：3（x﹣1）3＝24，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
（2）解：∵（x﹣1）3＝4，
∴（x﹣1）3＝8．
∴x﹣1＝2．
∴x＝3．
14．已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长．
解：正方体的棱长是，
∴该正方体的体积为，
∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍，
∴新正方体的体积为，
∴设新正方体的棱长为，
∴，
∴，即，
∴新正方体的棱长为．
15．已知，的算术平方根是6，求的值．
解：由题意得：，
∴，
∴，
由，得，
∴，
∴．
16．已知x是的立方根，y的算术平方根是，求的平方根．
解：∵x是的立方根，
∴．
∵y的算术平方根是，
∴．
∴．
∴的平方根为．
17．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
解：根据题意，可得1+3a＝49，
解得，a＝16，
∵2a﹣b+2的立方根是3，
∴2a﹣b+2＝27，
将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，
解得b＝7，
∴a﹣b＝9．
1．﹣8的立方根是( )
A．4 B．2 C．﹣2 D．±2
解：﹣8的立方根是﹣2．故选：C．
2．的平方根是( )
A．±2 B．﹣2 C．2 D．±8
解：∵，4的平方根为±2，∴±2．故选：A．
3．下列算式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、0.8，故本选项错误；
B、±±1.4，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：C．
4．下列判断错误的是( )
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是7
C．的立方根是 D．的平方根是
解： A．﹣64的立方根是﹣4，计算正确，故本选项不合题意；
B．49的算术平方根是7，计算正确，故本选项不合题意；
C．的立方根是，计算正确，故本选项不合题意；
D．的平方根是和，计算错误，故本选项符合题意；
故选：D．
5．实数介于m和m+1之间(m为整数)，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解： ∵64＜99＜125，∴，
即4＜＜5，则m＝4，
故选：D．
6．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
解：1.147×10＝11.47．
故选：C．
7．计算： ．
解：，
故答案为：．
8．若x满足，则x= ．
解：原方程化为：，
得：，
解得：，
故答案为：．
9．已知0.6993，1.507，则 ．
解：∵0.6993，
∴0.06993，
故答案为：0.06993．
10．已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm．
解：设截去的每个小正方体的棱长是，则
由题意得，
解得．
答：截去的每个小正方体的棱长是．
故答案为：4．
11．求下列各数的立方根．
（1）125； （2）0.027； （3）3
解：（1）∵53＝125，
∴；
（2）∵（0.3）3＝0.027，
∴；
（3）∵3，
∴3的立方根是．
12．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）6；
（2）；
（3）．
13．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
(1)求a，b，c的值；
(2)求a+b+c的平方根和立方根．
解： (1)∵a+1的算术平方根是1，
∴a+1＝1，解得a＝0；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，∴c＝7．
(2)由(1)知，a＝0，b＝9，c＝7，
∴a+b+c＝0+9+7＝16，
∴a+b+c的平方根是±4；
∴a+b+c的立方根是．
14．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的值．
解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，即a＝5；
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
即b＝2，
∵c是的整数部分，而45，
∴c＝4，
∴a+2b+c＝13，
答：a+2b+c的值为13．
15．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立；
(2)若与的值互为相反数，求的值．
解： （1）如，则8与互为相反数（答案不唯一）．
（2）由已知，得，
解得，
∴．
16．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x 2x 4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
πr316 000，
∴r316 000，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．第六章 实数
6.2 立方根
1、立方根
（1）一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
这就是说，如果，那么叫做的立方根.
【例】因为，所以的立方根是；
因为，所以的立方根是。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算.
（3）一个数的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，是根指数.如，.
2、立方根的性质
（1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.
（2）立方根的两个重要性质：
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即
②.
3、平方根与立方根的区别和联系
内容 平方根 立方根
区别 性质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数
0 0 0
负数 没有平方根 一个，为负数
表示方法
被开方数的范围 非负数 可以为任何数
联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算
0 的方根 0 的立方根和平方根都是0
4、用计算器求一个数的立方根的方法
一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开方数，最后按键．
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【题型一】立方根的概念和性质
【例1.1】已知，则下列说法正确的是（ ）
是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
【例1.2】下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．任何数的立方根都只有一个
C．负数没有立方根
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【例1.3】已知的立方根为3，求的立方根.
【例1.4】求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）（）3； （4）．
【例1.5】若和互为相反数，则的值为 ．
【题型二】开立方运算
【例2.1】下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是 B．是的负的立方根
C．的立方根是 D．的立方根是
【例2.2】求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【题型三】用计算器进行开立方运算
【例3.1】已知，，，聪明的同学你能不用计算器得出．
（1） ．
（2） ．
【例3.2】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知3.16，则 ；
②已知1.8，若180，则a＝ ；
（3）拓展：已知，若，则z＝ ．
【题型四】利用开立方解方程
【例4.1】求下列各式中的x的值．
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8．
【题型五】平方根与立方根的综合
【例5.1】若|x﹣1|+（y﹣2）20，则x+y+z的立方根是 ．
【例5.2】若a2＝16，2，则a+b＝（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
【例5.3】已知x2＝9，y3，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．
【题型六】立方根的应用
【例6.1】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米．
【例6.2】大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ．
1．64的立方根是( )
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
4．下列运算中正确的是( )
A． B． C． D．(﹣3)2＝6
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：
则输出结果为（ ）
A．8 B．4 C． D．
6．的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
7．小明利用计算器得到下表中的数据：
8 8.5 9 9.5 10
64 72.25 81 90.25 100
512 614.125 729 857.375 1000
那么在（ ）
A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间
8．填空：
（1）64的立方根是 ；
（2）的立方根是 ；
（3）26的立方根是 ；
9．若（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 ．
10．一长方体的体积为，它的长、宽、高的比为，则它的表面积为 ．
11．已知1.2639，2.7629，则 ．
12．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）（4）．
13．解方程：
（1）3（x﹣1）3＝24． （2）．
14．已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长．
15．已知，的算术平方根是6，求的值．
16．已知x是的立方根，y的算术平方根是，求的平方根．
17．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
1．﹣8的立方根是( )
A．4 B．2 C．﹣2 D．±2
2．的平方根是( )
A．±2 B．﹣2 C．2 D．±8
3．下列算式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列判断错误的是( )
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是7
C．的立方根是 D．的平方根是
5．实数介于m和m+1之间(m为整数)，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
7．计算： ．
8．若x满足，则x= ．
9．已知0.6993，1.507，则 ．
10．已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm．
11．求下列各数的立方根．
（1）125； （2）0.027； （3）3
12．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
13．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
(1)求a，b，c的值；
(2)求a+b+c的平方根和立方根．
14．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的值．
15．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立；
(2)若与的值互为相反数，求的值．
16．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
