第二十八章锐角三角函数章节培优测试卷（含解析）

第二十八章 锐角三角函数
满分：100分 时间：60分钟
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（3） （4）
2．（本题3分）在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则关于锐角A的正切值，下列说法正确的是（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．以上说法都不对
3．（本题3分）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（本题3分）如图，为直径，内接于，为内心，交圆于D，且于I，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若 ，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
（6） （8）
6．（本题3分）如图，正方形的边长为4，E为边一点，且，G为边上一点，连接，，相交于点F，若 ，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
8．（本题3分）如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角，小明在坡比为的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角，则山高为（　　）米
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，，AC为对角线，的平分线交BC于点E，连接DE交AC于点F．则下列结论：①；②；③﹔④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
（10） （13）
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）在中，，，则的值为 ．
12．（本题3分）的两个锐角和满足，则的度数是 ．
13．（本题3分）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）
14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，，，，，，则 ．
15．（本题3分）有一斜坡，坡顶B离地面的高度为，斜坡的坡度，则此斜坡的长为 ．
16．（本题3分）在中， ，，，则 ．
（17） （18）
17．（本题3分）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
18．（本题3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共46分）
19．（本题6分）（1）计算：．
（2）计算：．
20．（本题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长．
21．（本题6分）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像的高度，某数学兴趣小组在处用测角仪测得雕像顶部的仰角为，测得底部的俯角为．已知测角仪与水平地面垂直且高度为1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
22．（本题8分）如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得．

(1)求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
(2)若从D点继续沿的方向走米到达P点．求的值．
23．（本题8分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）

24．（本题12分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
2．C
【分析】根据题意作出，设，，，可求出，扩大后三边长分别是：3b，3a，3c，再计算，比较即可．
【详解】解：如图所示：中，，
设，，，
则扩大后三边长分别是：3b，3a，3c，
，
扩大后：，
即如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值没有变化，
故选：C．
【点睛】题目主要考查锐角函数中的正切函数，理解题意，作出图形，设出边长是解题关键．
3．C
【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．B
【分析】连接、，求出，根据内心求出，，求出，推出，求出，利用勾股定理得出，解直角三角形形可求出答案．
【详解】解：连接、，
∵为直径，
∴，
∵为内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解本题的关键，有一定难度．
5．B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，余弦函数的计算，设，则，根据勾股定理，再根据余弦计算即可．
【详解】∵的垂直平分线交于点D，，
∴设，
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查三角形的判定与性质，过作，根据，求出，根据及正方形对边平行得到，，即可得到答案；
【详解】解：过作，
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．
8．D
【分析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选D．
【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
9．B
【分析】根据，可得，从而得到米，米，设米，则米，由，可得米，再由，可得，从而得到，求出x，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵米，
∴米，米，
设米，则米，
∵，
∴米，
又∵，
∴，
即：，
解得，
∴米，
∴米．
即山高为米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
10．A
【分析】根据四边形ABCD是矩形，，则∠ABC=90°，，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，，则可知，由此可知∠BCA=30°，①正确，进而可知∠BCA=60°，由AE平分∠BAC=60°，得∠BAE=30°，在△ABE中，∠ABE=90°，AB=1，∠BAE=30°，，则，
由，可得CE=BC-BE=，则②正确，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=1，，则，由CE∥AD，可证△ADG∽△CEF，，由，进而可得，由，可知，进而知，故④正确，由此可知正确选项．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴∠ABC=90°，，
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，，
∴，
∴∠BCA=30°，
∴①正确，
∴∠BCA=60°，
∵AE平分∠BAC=60°，
∴∠BAE=30°，
在△ABE中，∠ABE=90°，AB=1，∠BAE=30°，
∴，
∴，
∵，
∴CE=BC-BE=，
∴②正确，
∵，
∴③正确，
在△CDE中，∠DCE=90°，CD=1，，
∴，
∵CE∥AD，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④正确，
∴①②③④都正确，
故选：A ．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数的应用，能熟练掌握三角函数的应用是解决本题的关键．
11．/
【分析】本题考查了求锐角的三角函数值．根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．
【详解】解：由知，如果设，则，．
．
故答案为：．
12．/度
【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
由绝对值和偶次方幂的非负性可得且，再利用三角函数求出的值，最后根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵，
∴且，，
∴且，
∴且，
∵，
∴．
故答案为：．
13．13.8//
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
14．10
【分析】在Rt△ABC中，由，求出AB=20，继而由勾股定理求出BC=16；在Rt△BDE中，由，求出BD长即可求解．
【详解】，，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查解直角三角形.涉及勾股定理，正弦定义等知识．掌握利用锐角正弦的定义求线段长是解题的关键.
15．
【分析】根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得的长，再由勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：∵高度为，斜坡的坡度，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键．
16．24
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
先根据三角函数的定义表示出，设，，利用勾股定理列出方程，解方程确定与的长，即可确定三角形的面积．
【详解】解：在中，，
，
设，，
根据勾股定理得，
，
，
，
解得：，
，，
则，
故答案为：24．
17．
【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键．
18．
【分析】连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：
，
∴，
在中，，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
．
20．16，8
【详解】试题分析：在Rt△ACD中，根据∠CAD的余弦函数即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根据∠B的正弦函数即可求得AB的长，从而求得BC的长.
在Rt△ACD中，∵cos∠CAD===，∠CAD为锐角.
∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.
∴∠B=90°－∠CAB=30°.
∵sinB=，
∴AB===16.
又∵cosB=，
∴BC=AB·cosB=16·=8.
考点：解直角三角形
点评：解直角三角形的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
21．米
【分析】过点作于，则四边形是矩形，则，在与中，分别表示出，根据即可求解．
【详解】如图，过点作于，则四边形是矩形，
，
中，，
，
中，，
，
（米）
答：雕像的高为米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22．(1)河两岸之间的距离是米
(2)
【分析】（1）过点作于点，设米，在中，，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解；
（2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

过点作于点，设米，
∵
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
解得：
答：河两岸之间的距离是米；
（2）解：如图所示，

依题意，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
23．甲组同学比乙组同学大约多走米的路程
【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解．
【详解】如图，过B点作于点D，

根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键．
24．(1)1，1，1
(2)1
(3)证明见解析
(4)
【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）由（1）中运算结果即可得到答案；
（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：1，1，1；
（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，
；
（4）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
25．
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，二次根式的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
答案第1页，共2页
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