北师版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元检测试卷（含解析）

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北师版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元检测试卷（含解析）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
4． 下列各组数分别是直角三角形三边长的是（ ）
A．5，13，13 B．1，， C．1，，3 D．15，25，35
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若AB=14，S△ABD=14，则CD =（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，
则BD的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．9
如图，如在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，
则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．
若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
则下列四个结论中：
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；
④∠1＝∠2；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．在中，，，则的度数是_______
12．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ．
13．已知等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为______
14．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于_______
15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ．
16 . “三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，
两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，
若，则 °．
17．如图，垂直平分垂直平分，若∠，则 度．
如图，已知，，，，
若，则的度数为 ．
解答题（本大题共有6个小题，共52分）
19．在中，，，是的高，若，则线段的长．
20．如图，在中，，，，，求AD
如图，在中，，
点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，
同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．

（1）当时， ；
（2）当为等腰三角形时，求AP
如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，
连接，且．
求证：平分．
若，求的度数．
23．点C在线段上，且和都是等边三角形，连接，分别交于点M，N．
求证：；
求证：．
24．如图，已知点、点．
求直线所对应的函数表达式；
在直线上有点P，点P到x轴的距离等于4，求点P的坐标；
在x 轴上是否存在点P，使三角形为等腰三角形，
若存在，直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．
北师版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元检测试卷 解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
故选：B．
2．如图，在直角三角形中，，，，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据含30度直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴；
故选C．
3．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
【答案】D
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，直角边对应相等，根据HL全等三角形的判定定理缺少斜边即可．
【详解】解：添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
4．下列各组数分别是直角三角形三边长的是（ ）
A．5，13，13 B．1，， C．1，，3 D．15，25，35
【答案】B
【分析】根据直角三角形的勾股定理即可解答.
【详解】A，52+132≠132，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误；
B，12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项正确；
C，12+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误；
D，152+252≠352，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项错误．
故选B．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若AB=14，S△ABD=14，则CD =（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB DE=×14 DE=14，
解得DE=2，
∴CD=2．
故选C．
6．等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
【答案】D
【分析】分3是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】解：3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，
它的周长=3+3+4=10，
3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，
它的周长=3+4+4=11，
综上所述，它的周长等于10或11．
故选：D．
7 .如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，
则BD的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】由直角三角形两个锐角互余得到∠B＝30°的度数，再根据角平分线的性质得到DE的长度，最后由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得BD的长.
【详解】∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD=3，
∴BD=2DE=6，
故选C
8 .如图，如在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，
则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD,AE=EC,进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC,从而可得答案．
【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D,
∴AD=BD,
∵AC的垂直平分线交BC与E,
∴AE=CE,
∵BC=8,
∴BD+CE+DE=8,
∴AD+ED+AE=8,
∴△ADE的周长为8,
故答案为：8．
9 .如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．
若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=14，解得AD=7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=7+×4=7+2=9．
故选C．
10 .如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
则下列四个结论中：
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；
④∠1＝∠2；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵AB＝AC，AD是中线，
∴∠1=∠2，∠BDE=∠CDF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
故正确的有②③④，共3个，
故选C．
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
11．在中，，，则的度数是_______
【答案】
【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
故答案是：
12．若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
当为腰时，，不能构成三角形，
当为腰时，的周长为，
故答案为：．
13．已知等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为______
【答案】
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的基本性质是解题关键
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴底角为：，
故答案是：
14．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于_______
【答案】240°
【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
故答案是：240°
15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ．
【答案】76
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴由勾股定理得：AB==10，
∴正方形的面积是10×10=100，
∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，
∴阴影部分的面积是100﹣24=76，
故答案是：76．
16 . “三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，
两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，
若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由，可得，由三角形外角的性质可得，，进而可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
17．如图，垂直平分垂直平分，若∠，则 度．
【答案】40
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故答案为：40．
18. 如图，已知，，，，
若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形、三角形的外角性质以及规律的探索．
由根据三角形内角和公式可求得的度数，
再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找与的关系即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
19．在中，，，是的高，若，则线段的长．
【答案】2
【分析】本题考查角的直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵是的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：2．
20．如图，在中，，，，，求AD
【答案】
【分析】利用直角三角形的特征及含所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
21.如图，在中，，
点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，
同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．

（1）当时， ；
（2）当为等腰三角形时，求AP
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程与动点问题，涉及了等腰三角形的定义，
明确动点的运动初始位置、运动方向和运动速度是解题关键．
（1）分别求出即可求解；
（2）根据结合为等腰三角形可得即可建立方程求解．
【详解】解：（1）当时，
，
故答案为：12；
（2）若为等腰三角形，
，
解得
故答案为：
22.如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，
连接，且．
求证：平分．
若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，即可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证；
（2）由等边对等角以及三角形内角和定理得出，再等边对等角以及三角形外角的定义及性质得出，由此即可得出答案．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
又，
，
于点，
平分；
（2）解：，，
，
又，
，
，
．
23．点C在线段上，且和都是等边三角形，连接，分别交于点M，N．
求证：；
求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质，容易得到，，，即可证明；
（2）根据第一问的结论，可得，由等边三角形性质得，可证，即可得到．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形
∴，，
∴
即
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
24．如图，已知点、点．
求直线所对应的函数表达式；
在直线上有点P，点P到x轴的距离等于4，求点P的坐标；
在x 轴上是否存在点P，使三角形为等腰三角形，
若存在，直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或或
【分析】（1）待定系数法求直线所对应的函数表达式即可；
（2）由点P到x轴的距离等于4，可得点P的坐标的纵坐标满足，即，分当时，当时，两种情况计算求解即可；
（3）设，由题意知，分当为底，当为腰两种情况求解：①当为底时，如图，则，即，计算求解即可；②当为腰，为顶点时，如图，则根据，计算求解即可；当为腰，为顶点时，如图，则根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为，
将点、点代入得，，解得，，
∴直线所对应的函数表达式为；
（2）解：∵点P到x轴的距离等于4，
∴点P的坐标的纵坐标满足，
解得，，
当时，，解得，，即；
当时，，解得，，即；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：设，由题意知，分当为底，当为腰两种情况求解：
①当为底时，如图，则，
∴，
解得，，
∴；
②当为腰，为顶点时，如图，则，
由勾股定理得，，
当时，，解得，，即；
当时，，解得，，即；
当为腰，为顶点时，如图，则，
∴，即；
综上所述，存在，P点坐标为或或或．
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