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班级_________
姓名_________
学号_______________
座位号______________
)珠海市香樟中学2023-2024学年度第二学期开学收心练习
高二数学试题
说明：1.全卷共4页，考试时间120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号；用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上填写姓名、试室号、座位号，并用2B铅笔把答题卷上的对应号码涂黑。
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔货签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液等工具。不按以上要求作答的答案无效。
5.考生务必保持答题卷的整洁；考试结束后请将试卷和答题卷一并上交给监考老师。
一、单项选择题(本小题共有8题，每小题5分，共40分)
1．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为，则该学生这10次成绩的分位数为（ ）
A．86.5 B．87.5 C．91 D．89
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，若与互相垂直，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
4．已知双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
6．设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
8．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，共20分。每题全选对得5分，部分对得2分，有选错得0分）
9．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
11．过拋物线：的焦点作直线交抛物线于A，两点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切 B．的最小值为4
C．当时，直线的斜率为 D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的最大值为
C．的周长为 D．存在点，使得为等边三角形
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分）
13．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ．
14．当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为 .
15．已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为 .
16．已知数据的平均数为5，；数据的平均数为10，．则数据的平均数为 ，方差为 ．
四、解答题
17．已知的平分线所在的直线的方程为．
(1)求AB的中垂线方程；
(2)求AC的直线方程．
18．某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.考生乙通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求：
(1)；
(2)甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率.
19．2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
20．在平面内，已知动点M到两个定点，的距离的比值为2.
(1)求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；
(2)直线与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.
21．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．已知是椭圆的右焦点，是上一点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值.高二数学开学收心考参考答案：
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C C B C
题号 9 10 11 12
答案 BC AD BC AD
三．填空题
13． 14． 15． 16． 8 8.7
17．(1)；(2)
【详解】（1）的中点坐标为，
又，故AB的中垂线斜率为4，
故AB的中垂线方程为，即；
（2）由对称性可知，关于的对称点在直线上，
故，解得，
故，
故直线的方程为，即.
18．(1)(2)
【详解】（1）由于“甲被录用”为事件A，事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，
则.
（2）由（1）知，则“甲不被录用”的概率，
由题意“乙被录用”的概率，“乙不被录用”的概率为，
由于甲乙两人恰有一个人被录用的事件为，事件A，B相互独立，
所以.
所以甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率为.
19．(1)，(2)估计众数为70，分位数为(3)
【详解】（1）由题意可知：，，
解得，；
（2）由频率分布直方图估计众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
则估计第分位数为；
（3）根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
20．(1)；轨迹C是以为圆心，半径为2的圆
(2)
解.
【详解】（1）设点，则，化简得，
即，所以轨迹C是以为圆心，半径为2的圆.
（2）
设直线与圆的两个交点分别为，.
由得，，，
设的中点为，则，，即中点为.
所以，
故最小的圆是以为直径的圆，其圆心坐标为，半径的平方为，
故所求圆的方程为.
21．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，，则，
在中，因为，则，
因为，，所以，，
所以，则，
又，、平面，所以平面
（2）解：因为，为的中点，则，又平面，
以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，，
，，，
，
设平面法向量为，则，令，即，
设平面法向量为，则令，即，
设平面与平面所成角的平面角为，
所以．
22．(1)(2)
【详解】（1）由题可知，解得
则的方程为.
（2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件.
若的斜率存在，设的方程为，
联立方程组整理得，
则.
因为，所以
，解得，
则.
