5.3 平行线的性质课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
人教版数学七年级下册
第五章 相交线与平行线
5.3　平行线的性质
5.3.1　平行线的性质
导入新课
回顾
窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1，∠2有什么数量关系？
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
探究新知
知识点
平行线
两条平行线被第三条直线截得的同位角具有怎样的数量关系？
思考
如图，已知直线 a∥b ，c 是截线.
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
100°
80°
100°
80°
100°
80°
100°
80°
探究
∠1，∠2，···，∠8 中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？
由此猜想：
两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
相等
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
d
成立
性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
思考
如图，直线 a∥b ，c 是截线，那么 1 与 2 相等吗？为什么？
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠2 = ∠3 .
而∠3 与∠1 互为对顶角，所以∠3 =∠1.
所以∠1 = ∠2.
b
a
c
3
2
1
性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
类似地，
知识归纳
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
例题与练习
例1 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100 ° ，∠B = 115 ° ，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下两底 AB∥CD ，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A 与∠D 互补，∠B与∠C 互补．
于是∠D = 180 ° －∠A
= 180 ° －100 = 80 ° ，
∠C = 180 ° －∠B
= 180 ° －115 ° = 65 ° ．
所以，梯形的另外两个角分别是 80 ° ，65°．
例2
如图，已知DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．
解：∵FG∥EC，
∴∠CAG＝∠ACE＝36°，
∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝48°.
∵DB∥FG，
∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.
例3　如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？
解：∵AB∥CD，
∴∠EMA＝∠MNC.
∵MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，∴∠EMP＝ ∠EMA，∠MNQ＝ ∠MNC，∴∠EMP＝∠MNQ，∴MP∥NQ.
例题与练习
练习
1. 如图，直线 a∥b，∠1 = 54°，∠2，∠3，∠4 各是多少度？
解：∵a∥b，∠1=54°，∴∠4 =∠1 = 54°（两直线平行，同位角相等）.
∠3 =180°－∠4
=180° － 54°=126°，
∠2 与∠1 是对顶角，
∴∠2=∠1= 54°.
2. 如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点， ∠ADE = 60°，∠B = 60°，∠AED = 40°.
（1）DE 与 BC 平行吗？为什么？
（2）∠C 是多少度？为什么？
解：（1）∵∠ADE = ∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
（2）∵DE∥BC，
∴∠C = ∠AED = 40°（两直线平行，同位角相等）
3．下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )
B
4．如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝_______．
110°
5．如图，CD⊥AB于点D，E是BC上一点，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2，试说明∠AGD＝∠ACB的理由．
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠EFB＝∠CDB＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB.
课堂小结
图形 已知 结果 理由
a∥b ∠1=∠3
∠2=∠4
a∥b 两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同位角相等
a∥b
两直线平行，内错角相等
∠2+∠3=180°
b
a
c
1
2
3
4
人教版数学七年级下册
第五章 相交线与平行线
5.3　平行线的性质
5.3.2　命题、定理、证明
导入新课
图形 已知 结果 理由
a∥b ∠1=∠3
∠2=∠4
a∥b 两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同位角相等
a∥b
两直线平行，内错角相等
∠2+∠3=180°
b
a
c
1
2
3
4
回顾
平行线的判定和性质
2．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是( )
思考完成并交流展示．
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠2－∠1＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
D
探究新知
知识点
命题
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内 角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.
思考
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
（3）如果两个角的和是 90 ，那么这两个角互余.
（4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式.
（5）两点之间，线段最短.
下列各组命题是由几部分组成的？
命题的结构
命题由题设和结论两部分组成.
许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分是结论．
已知事项
由已知事项推出的事项
上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等．
√
×
×
√
√
思考
命题的真假
真命题：
假命题：
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
练习
1. 指出下列命题的题设和结论：
（1）如果 AB⊥CD ，垂足为 O ，那么∠AOC = 90°.
题设：如果 AB⊥CD ，垂足为 O ，结论：∠AOC = 90°.
（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.
题设：如果∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3.
题设：如果两条直线平行，结论：同位角相等.
（3）两直线平行，同位角相等.
2.判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 | a | = | b |，那么 a = b ；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这 条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
知识点
定理与证明
上面练习第 2 题中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）．
定理也可以作为继续推理的依据．
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
命题 1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
请判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．
命题 2 相等的角是对顶角．
题设：
命题 1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
结论：
在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；
这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
（2）命题 1 是真命题还是假命题？
真命题
命题 1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（3）你能画出图形，写出已知、求证并证明它是真命题吗？
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
b
c
a
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1 = 90 （垂直的定义）.
又∵ b∥c（已知），
∴∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2 = ∠1 = 90 （等量代换）.
∴ a⊥c（垂直的定义）.
1
b
2
c
a
例 如图，已知：直线 b∥c，a⊥b. 求证：a⊥c.
归纳
证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等.
题设：
（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
命题 2 ：相等的角是对顶角．
（2）判断这个命题的真假.
假命题
结论：
两个角相等.
这两个角互为对顶角.
你能否举例说明“相等的角是对顶角”是假命题？
如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，∠1 = ∠2 ，但它们不是对顶角 .
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
知识归纳
1．命题的定义及构成：
表示判断性的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；
命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论；
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……那么……”的形式．
命题的真假
命题分为真命题和假命题，如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．
如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．
定理及证明
定理是经过推理证实的真命题，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题．但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理；
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程就叫证明．
例题与练习
例　指出下列命题的题设和结论：①如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0；②两直线平行，内错角相等；③等式的两边同乘以一个数，结果仍是等式；④绝对值相等的两个数相等；⑤如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°.
解：①题设：两个数互为相反数；结论：这两个数的和为0；②题设：两直线平行；结论：内错角相等；③题设：等式两边同乘以一个数；结论：结果仍是等式；④题设：两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；⑤题设：AB⊥CD，垂足是O；结论：∠AOC＝90°.
例　判断下列命题是真命题还是假命题．
(1)若a>b，则a2>b2；　　　
(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3)两点之间，线段最短； (4)任意两个直角都相等．
解：(1)(2)是假命题，(3)(4)是真命题．
2．判断一个命题的真假，只要举出一个______，它符合命题的______，但不满足结论就可以了．
思考
1.证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是________，也可以是学过的______、_________、_____等．　　
已知条件
定义
基本事实
定理
反例
题设
例题与练习
练习
1．下列语句中，是命题的是 ( )
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？
③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
A
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．若|x|＝2，则x＝2
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．任何一个角都比它的补角小
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
B
证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠CBE.
∵∠1＝∠2，
∴AC∥DE，
∴∠E＝∠CBE，
∴∠A＝∠E.
3．如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E.
课堂小结
命题、定理、证明
定义
结构
形式
分类
真命题 定理
假命题举反例
题设：已知事项
结论：由已知事项推出的事项
：判断一件事情的语句叫做命题
：如果……那么……
证明
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