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2024年湖南省长沙市中考数学模拟练习试卷（解析卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3 . 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A.2a与3b不是同类项，不能合并，故不正确；
B. ，故不正确；
C. ，故正确；
D. ，故不正确；
故选C．
4 . 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
5. 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，
在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9
【答案】B
【分析】根据众数和中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间的数即可．
【详解】由图可知，锻炼9小时的有18人，
∴9在这组数中出现18次，出现的次数最多，
∴众数为9，；
把这组数据从小到大排列，中位数是第23位，
∵第23位是9，
∴中位数是9，
故选：B
6. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，以及，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解： ∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
8. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，
若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．124° C．114° D．100°
【答案】B
【分析】如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得．
【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD＝62°．
∴．
∴∠AOC＝2∠E＝124°．
故选：B．
9．如图，点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，B为垂足，，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据点，，可得，可得到点A的坐标，即可求解．
【详解】解：∵点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
把代入得：
，解得：．
故选：D
10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
,，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB ＝ ．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝＝，
∴cosB＝＝．
故答案为：．
13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知
解得
故答案为：．
14. 如图，已知的直径为10，弦，于点E，则的值为 ．
【答案】
【分析】由垂径定理可得，，由题意知，在中，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，
若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝ ．
【答案】-6.
【详解】试题解析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴，
∴，
设A（m，n），则B（-n，m），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴mn=2，
∴-n m=-3×2=-6，
∴k=-6．
如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，
另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为 ．
【答案】8
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，
第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
解：如图所示：过点作垂足为
过点作垂足为
过点作垂足为
∴四边形是矩形，
在中，
在中，
即
∴点C到直线AE的距离为
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，
随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角________度；
若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，
请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①200；②见解析；③54
(2)1120
(3)
【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可；
（2）用乘以组人数所占比例即可；
（3）根据题意列出树状图即可求解
【详解】（1）解：（1）①；
② 组人数，
补全的条形统计图如图所示：
③；
（2）解：；
（3）解：画树状图如下：
从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，
恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，
因此，（恰好抽中甲、乙两人）．
21. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F．
求证：；
若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义推出，根据即可；
（2）先证明，过点A作，利用三角函数关系求得，再证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
过点A作，垂足为M，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴．
22.某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型/价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
型 60 90
型 80 120
(1)若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，
应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】(1)型台灯购进75盏，则型台灯购进25盏
(2)型灯购进34盏，型灯购进66盏时获利最多，此时利润为3660元
【分析】（1）设型台灯购进盏，则型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案；
（2）根据“型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设型台灯购进盏，则型台灯购进盏，
由题意，得，
解得 x=75
则型台灯购进盏．
答：型台灯购进75盏，则型台灯购进25盏；
（2）∵型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，
∴，
解得 ，
设总利润为元，由题意，得
，
∵，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴，
∴元．
∴型灯购进34盏，型灯购进66盏时获利最多，此时利润为3660元．
如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．
连接、、，且．
求证：为的切线；
延长与的延长线交于点D，求证：；
若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明，即可得证；
（2）根据，即可得证；
（3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴
如图所示，连接
在与中，
∴
∵为上的一点．
∴是的切线；
（2）∵是的切线；
∴，
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
∴
24 . 【问题发现】
如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
25. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
请直接写出点，，的坐标；
点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，
使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
【详解】（1）解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在．
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴．
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
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2024年湖南省长沙市中考数学模拟练习试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 . 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 . 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5. 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，
在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9
6. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，
若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．130° B．124° C．114° D．100°
如图，点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，B为垂足，，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：= ．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB ＝ ．
13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ．
14. 如图，已知的直径为10，弦，于点E，则的值为 ．
如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，
若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝ ．
如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，
另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为 ．
解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，
第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，
随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角________度；
若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，
请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F．
求证：；
若，，求四边形的面积．
22.某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型/价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
型 60 90
型 80 120
(1)若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，
应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．
连接、、，且．
求证：为的切线；
延长与的延长线交于点D，求证：；
若，求阴影部分的面积．
24 . 【问题发现】
如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
25. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
请直接写出点，，的坐标；
点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，
使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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