18.1.1　平行四边形的性质 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18 .1 平行四边形
18.1.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边、角的特征
导入新课
从以上图形中我们能发现哪些几何图形？
你能给平行四边形下定义吗？
探究新知
平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ”.
ABCD
你还能举出一些平行四边形的例子吗？
探究新知
探究
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一样吗？
D
A
B
C
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗
测得AB=DC，AD=BC.
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
思考
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
知识归纳
平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
B
C
D
平行四边形的对角相等．
探究新知
　　例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF，
∴AE=CF.
D
A
B
C
F
E
在上述证明中还能得出什么结论？
DE=BF
如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别交于A ，B ，C ，D四点，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD，也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
由上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
A
B
C
D
a
c
d
b
a
b
A
B
归纳
如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：线段AD=BC. 因为两张纸条的对边都平行，所以重合的部分构成的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等，所以AD=BC.
练习
A
B
C
D
例题与练习
例2　如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO的面积相等．
证明：∵l1∥l2，
∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.
∴S△EGH＝S△FGH，
∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，
∴S△EGO＝S△FHO，即△EGO与△FHO的面积相等．
例题与练习
练习
1．教材P43练习第1题．
2．在 ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于
(　 　)
　A．12 cm　　　　B．8 cm　　　　C．6 cm　　　　D．4 cm
A
3．如图，点P在 ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有_______个平行四边形．
4．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______．
9
25°
5．如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠DMC＝90°，
∴∠BCN＝∠DCM＝45°，
∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝135°－45°－45°＝45°.
课堂小结
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等.
两条平行线间的距离相等
两组对角分别相等，邻角互补.
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18 .1 平行四边形
18.1.1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形的对角线性质
导入新课
平行四边形的对边相等，
平行四边形的对角相等.
平行四边形的两条对角线有什么性质呢？
回顾平行四边形的边角特征.
探究新知
探究
A
B
C
D
O
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？
猜想：OA=OC，OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
归纳
练习
如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14. △AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝10
OA＝OC＝4
OD＝OB＝7
∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21
∵ AB=CD BC=BC
BD – AC=14 – 8=6
∴△DBC的周长较长，长6.
A
C
D
B
O
例题与练习
例1 教材P44例2. 如图，在　 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
求BC，CD，AC，OA的长，以及　 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
练习
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质）
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF （对顶角相等）
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF （ASA ）
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）
例2　如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
O
例3　如图①，在 ABCD中，O为对角线BD，AC的交点．
(1)求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.设点B到AC的距离为h，
∴S△ABO＝S△CBO；
(2)S△ABP＝S△CBP.
理由如下：在 ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h′，
∴S△ABP＝S△CBP.
例题与练习
练习
1．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(　 　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
A
2．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(　 　)
A．3 B．6 C．12 D．24
C
3．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°.
在△DOE和△BOF中，
∴OE＝OF.
∴△DOE≌△BOF(AAS)，
课堂小结
平行四边形的性质
两组对边分别平行，相等.
两组对角分别相等，邻角互补.
两条对角线互相平分.
两条平行线间的距离相等
谢谢观看