18.2.2 菱形 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 菱形
第1课时 菱形的性质
导入新课
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
将一张矩形的纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，猜猜看，打开是个什么图形，自己动手做一做.
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？
思考
探究新知
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳
有一组邻边相等的平行四边形.
探究新知
活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题1 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
O
D
证一证
求证: (1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
解：（2）∵AB = AD,
A
B
C
O
D
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
知识归纳
对边相等
四个角都是直角
对角线互相
平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
矩形的性质
菱形的性质
对角相等
对角线互相平分
对边相等
平行四边形的性质
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
探究新知
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
F
M
N
E
G
A
B
D
C
O
问题2 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
能
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积计算有如下方法：
归纳
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
例题与练习
例1　如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
练习
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∴△ABO是直角三角形，
∴BO= =3
∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
2.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
解：菱形的边长= =5.
（cm）
练习
C菱形ABCD= 4×5=20（cm）
例2　如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(　 　)
A．BO＝DO B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD D．AO＝DO
D
例3　如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.
求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OHB＝∠OBH.
∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，
又∵AB∥CD，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
∴∠OHB＝∠ODC.
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.
3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　 　)
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．四条边相等
D
练习
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____．
5．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
A
D
F
C
B
E
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
课堂小结
菱形的性质
菱形性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 菱形
第2课时 菱形的判定
导入新课
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的性质
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
边
角
对角线
回顾 菱形的定义是什么？性质有哪些？
每一条对角线平分一组对角
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
探究新知
活动 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
证一证
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
A
D
C
B
知识归纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
知识归纳
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
例题与练习
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，
AO=4， BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3, AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
解：这是一个菱形.
练习
1.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
B
C
D
A
O
AO=CO= AC=6，
BO=DO= BD=3 .
在△ABO中，
S菱形ABCD= AC · BD=36
B
C
D
A
O
∵AO2+BO2=（3 ）2+62=81，
AB2=92=81，
∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
例2　如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
例3　如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF＝DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DB＝DC，∴AF＝DC；
解：四边形ADCF是菱形．
证明如下：由(1)知，AF＝DC.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
∵AD是BC边上的中线，
∴四边形ADCF是菱形．
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
2．教材P58练习第3题．
3．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是(　 　)
A
B
C
D
C
练习
4．如图，在 ABCD中，AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是______________________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
AC⊥EF(答案不唯一)
5．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.求证：四边形EFCD是菱形．
证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，
∴AB∥CD，DE∥CF.
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
∵ED＝CD，
∴四边形EFCD是菱形．
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
谢谢观看