18.2.1 矩形 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时 矩形的性质
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
导入新课
探究新知
矩形
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请注意观察.
你能说出下面四边形是什么图形吗？
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：
平行四边形不一定是矩形.
知识归纳
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
矩形是常见的图形，门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象。
探究新知
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？
思考
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
命题1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
又 矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C ， ∠B = ∠D，∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC = BD，即矩形的对角线相等.
命题2:矩形的对角线相等
求证：AC = BD.
知识归纳
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
几何语言描述：
A
B
C
D
O
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，
AC=DB.
例题与练习
例1　如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 ．求矩形对角线的长．
A　
B 　
C 　
D 　
O 　
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OA=AB=4cm
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
探究新知
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC
∴BO= BD= AC.
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证一证
归纳
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
解：矩形是轴对称图形；
练习
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
有两条对称轴.
知识归纳
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
这是矩形所特有的性质
例题与练习
例2　如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴BF＝AE.
例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
解：∵DE＝AE，DF＝AF，
(2)求证：EF垂直平分AD.
∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
练习
2．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为(　 　)
A．1 cm　　　　　 B．2 cm　　　　　
C．2.5 cm　　　　　 D．4 cm
D
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
∴△EBF≌△DCE(AAS)，
在△EBF和△DCE中，
∴BE＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAD，
∴AE平分∠BAD.
∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA.
∴∠BAE＝∠EAD，
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
人教版数学八年级下册
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1　矩形
第2课时 矩形的判定
导入新课
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟．一天，师傅有事外出，两徒弟就自己在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自己的是矩形．
甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形．”
乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角．所以我这个四边形门就是矩形．”
根据他们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形．
探究新知
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
你能证明这一猜想吗？
不对，等腰梯形的对角线也相等.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明：∵AB = DC , BC = CB, AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
知识归纳
对角线相等的平行四边形是矩形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
B
C
D
证一证
∴∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC, AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
知识归纳
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B =∠C =90°,
∴四边形ABCD是矩形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
知识归纳
矩形的几种判定方法
例题与练习
例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC = AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
练习
解：还需要从花房运来38盆“红花”.
如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的交点没有摆花盆.
2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4. 求 ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形 ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB= 60°
∴∠AOD=120°
又AO=DO ，
∴∠ADC=90°.
∴四边形ABCD是矩形，
AC=8 ，DC=4， AD= ，
∴平行四边形ABCD的面积为 .
例2　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OB＝OD，
∴MN＝BD，
∴四边形NDMB为矩形．
例3　如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠H＝90°.同理，
∠HEF＝∠F＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴四边形EFGH是矩形．
练习
2．下列结论正确的是(　 　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有_____________________________________．(填序号)
①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
谢谢观看