19.1.1　变量与函数 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
人教版数学八年级下册
第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1　变量与函数
第1课时　变量与常量
导入新课
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
探究新知
思考
1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
请说明你的道理：
速度×时间
路程 =____________
(1)在以上这个过程中，变化的量是________________．不变化的量是_____________．
(2)试用含t的式子表示s．s=____．
时间t、
速度60千米/时
60 t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
路程s
s
t
2.每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，y的值随x的值的变化而变化吗？
(1)早场票房收入 =
日场票房收入 =
晚场票房收入 =
请说明道理：
票房收入=
10×205 = 2050 （元）
10×150 = 1500（元）
10×310 = 3100 （元）
售价×售票张数
10x
(2)在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________．
(2)试用含x的式子表示y，y=______．
售票张数x、票房收入y
售价10元
这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．
y
x
圆面积S与圆的半径R之间的关系式是 ；
其中变化的量是 ；不变化的量是 .
3.如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？S的值随r的变化而变化吗
S= πr2
π
S,r
这个问题反映了圆的面积S随半径R的变化过程．
S1=π102
S2=π202
S3=π302
4.用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值变化而变化吗
请说明你的道理：
矩形周长=____________
2（x+y）
当x=3m,y=10÷2-3=2m
当x=3.5m,y=10÷2-3.5=1.5m
当x=4m,y=10÷2-4=1m
当x=4.5m,y=10÷2-4.5=0.5m
这个问题反映了矩形的邻边长y随边长x的变化而变化．
知识归纳
上述运动变化过程中出现的数量，你发现了什么？
有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s，售出票数x……
有些量的数值是始终不变的，例如速度60km/h，票价10元/张……
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
练习
1.某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费y元.
变量：月用水量x t，月应交水费y元；
常量：自来水价4元/t.
指出下列问题中的变量和常量：
2.某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min，话费卡中的余额为w元.
变量：通话时间 t min，话费卡中的余额w元；
常量：通话费0.2元/min.
3.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长和直径之比)为π.
变量：半径r，圆周长C；
常量：圆周率π.
4.把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本.
变量：第一个抽屉x本，第二个抽屉y本；
常量：10本书.
探究新知
思考
问题1 ~ 4中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km 60 120 180 240 300
你发现了什么？
知识归纳
四个问题中每个问题的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
例题与练习
(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S＝4πR2；
(2)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)之间的关系式是h＝ gt2(其中g取9.8 m/s2 )；
(3)已知橙子1.8 元/kg，则购买数量x(kg)与所付款w(元)之间的关系式是w＝1.8x.
解：(1)S＝4πR2，常量是4，π，变量是S，R；
(2)h＝ gt2，常量是 ，g，变量是h，t；
(3)w＝1.8x，常量是1.8，变量是w，x.
例1　分析下列关系中的变量与常量．
例2　观察图表，根据表格中的数据回答问题：
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
(1)设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的关系式；
(2)在上述变化过程中，常量、变量分别是什么？
(3)求n＝11时图形的周长．
解：(1)l＝3n＋2；
(2)常量是3，2，变量是l，n；
(3)当n＝11时，l＝3×11＋2＝35，即此时图形的周长为35.
例题与练习
练习
1．下表是某报纸公布的世界人口数据情况，表中的变量(　 　)
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A．仅有一个，是年份
B．仅有一个，是人口数
C．有两个，一个是人口数，另一个是年份
D．一个也没有
C
2．张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y＝____________，其中_________是常量，_________是变量．
10＋5x
10，5
y，x
3．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．
(1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
(2)甲、乙两地相距 ykm，小明骑自行车以每小时30 km的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t(h)表示小明离乙地的距离s(km)．
解：(1)α＝90°－β，α和 β是变量，90°是常量；
(2)s＝y－30t，s和t是变量，y和－30是常量．
课堂小结
常量与变量
常量与变量的概念
列出变量之间的关系式
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量
人教版数学八年级下册
第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1　变量与函数
第2课时　函数
导入新课
1．圆柱的体积公式V＝πr2h，V表示体积，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，其中常量是_____，变量是____________．
π
V，r，h
2.如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．
探究新知
思考
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数可以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
思考上面两个问题，你学到了什么？
1中每个时间x都对应一个生物电流y；
2中每个年份都对应一个确定的人口数.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
知识归纳
你能从上述问题中得到什么结论吗？
指出下列问题中的自变量以及自变量的函数：
1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th.
2.在我国人口数统计表，年份与人口数可以分别记作两个变量x和y.
t是自变量，s是t的函数.
x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
什么是函数值？
中国人口数统计表
你发现了什么？
每个年份对应一个人口数
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
探究新知
例 1 汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.
油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为：
y=50-0.1x
像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
0.1x表示的意义是什么？
0.1x表示行驶过程中消耗的总油量.
(2)指出自变量x的取值范围；
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
归纳
解析：仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过邮箱中现有油量50，即：0.1x≤50.
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
像这样，使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解析：汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200带入y=50-0.1x，得：
y=50-0.1×200=30
答：汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
练习
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.
S=x2
自变量
自变量的函数
(2)每分钟向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化.
y=0.1x
自变量
自变量的函数
(3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化.
自变量
自变量的函数
(4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化.
V=10-0.05t
自变量
自变量的函数
2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长xcm大于上底长，但不超过5cm.写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
2＜x≤5
S= (2+x) ×3；
例题与练习
例2　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
解：(1)y＝10＋ x，其中x是自变量，y是自变量的函数；
(2)V＝30a2，其中a是自变量，V是自变量的函数．
例2　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(2)设一长方体盒子的高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
例3　求下列自变量的取值范围．
解：x为全体实数
解得x≥1；　　
解：2x－1＞0，
例4　水箱内原有水200 L，7：30打开水龙头，以2 L/min的速度放水，设经t min时，水箱内存水y L.
(1)求y与t的函数关系式和自变量的取值范围；
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，
∴y＝200－2t.
∵y≥0，
∴200－2t≥0，解得t≤100.
∴0≤t≤100；
(2)∵7：55－7：30＝25(min)，
∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150.
∴当7：55时，水箱内还有水150 L；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分＝1小时40分，7点30分＋1小时40分＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
例4　水箱内原有水200 L，7：30打开水龙头，以2 L/min的速度放水，设经t min时，水箱内存水y L.
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
例题与练习
练习
1．下列各关系式中，y不是x的函数的是(　 　)
A．y＝3－2x　 　 B．y＝x2－5　 　C．y＝9x 　　D．y2＝x＋6
D
2．如图，当输入x＝－1时，输出y＝________．
－5
3．已知水池中有800 m3的水，每小时抽50 m3.
(1)写出剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的函数解析式；
(2)写出自变量t的取值范围；
(3)10 h后，池中还有多少水？
解：(1)Q＝800－50t；
(2)∵Q≥0，
∴800－50t≥0，
∴0≤t≤16；
(3)当t＝10时，
Q＝800－50×10＝300.
答：10 h后，池中还有300 m3水．
课堂小结
函数
函数及自变量的概念
函数值
自变量的取值范围
使函数解析式有意义
符合实际意义
谢谢观看