数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义 课件（共33张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义 课件（共33张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 21:52:42 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
问题回顾
物理问题：
跳水运动员起跳后的速度问题
几何问题：
抛物线的切线斜率问题
切线斜率
割线斜率
瞬时速度
平均速度
瞬时变化率
平均变化率
取极限
取极限
取极限
逼近
1.平均变化率的定义
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋ x，则函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋ x).
这时，x的变化量为 x，y的变化量为 y＝f(x0＋ x)－f(x0).
y
x
2.导数(瞬时变化率)的定义
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
2. f′(x0)与 x的具体取值无关，f′(x0)是一个常数；
3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
对导数概念的理解
导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：①利用导数的定义求导数
B
巩固：①利用导数的定义求导数
导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
B
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：②了解可导的定义
思考1：根据导数的定义判断，函数f(x)=|x|在x=0处是否可导
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
【例2】(P65)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x －7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h.
意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；
在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
f '(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
【例3】(P66)一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为v(t)=﹣t +6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h.
意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加；
在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少.
v'(t0) (t0≥0)反映了汽车速度在时刻t0附近的变化情况
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
[练习5](P66-3)一质点A沿直线运动，位移s(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为s(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度.
故质点在2.7 s时的瞬时速度为10.8 m/s.
①若位移关于时间的函数为s(t)，则s'(t0)表示函数s(t)在t＝t0时刻的瞬时速度，即v(t0)=s'(t0).
②若速度关于时间的函数v(t)，则v'(t0)表示函数v(t)在t＝t0时刻的瞬时加速度，即a(t0)=v'(t0).
总结
易错点：利用导数的定义求导数
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第二课时 导数的几何意义
复习回顾
看活△x
导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.
探究：导数的几何意义是什么？
思考1：观察函数的图象，平均变化率表示什么？
平均变化率的几何意义
3.导数的几何意义
3.导数的几何意义
思考2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
在P沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线.
由图可知，点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线
思考3：瞬时变化率表示什么？
3.导数的几何意义
巩固：导数的几何意义
巩固：导数的几何意义
[练习6]求曲线在点处的切线方程.
解：由导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率就等于函数在点处的导数.
而，
故曲线在点处的切线方程为，整理得.
巩固：导数的几何意义
3.导数的几何意义的运用
B
A
切线斜率
割线斜率
切线斜率
割线斜率
B
A
3.导数的几何意义的运用
4.以直代曲的思想
例4(P68)如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=﹣4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况.
t1
h
t0
O
t2
t
l2
l1
l0
(1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0.
这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0.
这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l1的斜率h'(t2)<0.
这时, 在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近单调递减.
直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
4.以直代曲的思想
将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.
可以用点P0处的切线P0T近似代替点P0附近的曲线y=f(x).
作用：借助导数，可以大致画出函数y=f (x)对应的曲线.
5.导函数的定义
（3）函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。
思考：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，它是一个变量。
辨析
巩固：导函数的定义
[练习8]已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则曲线
y＝f(x)在点P处的切线方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0
巩固：导函数的定义
总结
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
问题回顾
物理问题：
跳水运动员起跳后的速度问题
几何问题：
抛物线的切线斜率问题
切线斜率
割线斜率
瞬时速度
平均速度
瞬时变化率
平均变化率
取极限
取极限
取极限
逼近
1.平均变化率的定义
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋ x，则函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋ x).
这时，x的变化量为 x，y的变化量为 y＝f(x0＋ x)－f(x0).
y
x
2.导数(瞬时变化率)的定义
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
2. f′(x0)与 x的具体取值无关，f′(x0)是一个常数；
3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
对导数概念的理解
导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：①利用导数的定义求导数
B
巩固：①利用导数的定义求导数
导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
B
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：①利用导数的定义求导数
巩固：②了解可导的定义
思考1：根据导数的定义判断，函数f(x)=|x|在x=0处是否可导
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
【例2】(P65)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x －7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h.
意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；
在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
f '(x0) (0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
【例3】(P66)一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为v(t)=﹣t +6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h.
意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加；
在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少.
v'(t0) (t0≥0)反映了汽车速度在时刻t0附近的变化情况
巩固：③理解导数(瞬时变化率)的意义
[练习5](P66-3)一质点A沿直线运动，位移s(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为s(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度.
故质点在2.7 s时的瞬时速度为10.8 m/s.
①若位移关于时间的函数为s(t)，则s'(t0)表示函数s(t)在t＝t0时刻的瞬时速度，即v(t0)=s'(t0).
②若速度关于时间的函数v(t)，则v'(t0)表示函数v(t)在t＝t0时刻的瞬时加速度，即a(t0)=v'(t0).
总结
易错点：利用导数的定义求导数
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第二课时 导数的几何意义
复习回顾
看活△x
导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.
探究：导数的几何意义是什么？
思考1：观察函数的图象，平均变化率表示什么？
平均变化率的几何意义
3.导数的几何意义
3.导数的几何意义
思考2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
在P沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线.
由图可知，点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线
思考3：瞬时变化率表示什么？
3.导数的几何意义
巩固：导数的几何意义
巩固：导数的几何意义
[练习6]求曲线在点处的切线方程.
解：由导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率就等于函数在点处的导数.
而，
故曲线在点处的切线方程为，整理得.
巩固：导数的几何意义
3.导数的几何意义的运用
B
A
切线斜率
割线斜率
切线斜率
割线斜率
B
A
3.导数的几何意义的运用
4.以直代曲的思想
例4(P68)如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=﹣4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况.
t1
h
t0
O
t2
t
l2
l1
l0
(1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0.
这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0.
这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l1的斜率h'(t2)<0.
这时, 在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近单调递减.
直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
4.以直代曲的思想
将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.
可以用点P0处的切线P0T近似代替点P0附近的曲线y=f(x).
作用：借助导数，可以大致画出函数y=f (x)对应的曲线.
5.导函数的定义
（3）函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。
思考：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，它是一个变量。
辨析
巩固：导函数的定义
[练习8]已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则曲线
y＝f(x)在点P处的切线方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0
巩固：导函数的定义
总结