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第1课时
匀速圆周运动的向心力和向心加速度
课 标 要 求
1.通过实际感受，分析归纳出物体做匀速圆周运动的条件，理解向心力概念、来源．
2．通过实验探究，归纳影响向心力大小的因素，理解向心力计算公式含义，并能用公式计算向心力大小．
3．理解向心加速度概念，并能用公式计算向心加速度的大小．
思 维 导 图
一、向心力
1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向________的合力，叫作向心力．
2．方向：始终沿着半径指向________，与________方向垂直．
3．作用效果：向心力只改变速度的________，不改变速度的________．
4．向心力是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的____________命名的．
[导学1]
向心力是根据力的作用效果命名的，它是由其他力或其他力的合力提供的，分析物体受力时不能说物体受到向心力作用．
圆心
圆心
线速度
方向
大小
作用效果
二、向心力的大小
1．实验探究
2.公式：F＝________或 F＝________．
3．来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．
[导学2]
向心力与圆周运动的关系：不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力迫使物体不断改变速度方向而做圆周运动．
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与________的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与________的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与________的关系
角速度ω
半径r
质量m
mω2r
向心力
ω2r
圆心
线速度
变加速
[导学3]
做非匀速圆周运动的物体，合力与速度方向夹角小于90 °时，物体做加速圆周运动；合力与速度方向的夹角大于90 °时，物体做减速圆周运动．
探究点一 向心力
导学探究
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，地球受到了太阳对它的作用力，这个力可能沿什么方向？如图乙所示，细线系着小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，小球受哪些力作用？这些力的合力沿什么方向？
提示：由地球指向太阳的中心；小球受到重力、桌面对它的支持力和细线的拉力三个力作用，这些力的合力指向圆心．
典例示范
例1 如图所示，质量为m的物块随水平转盘绕竖直固定轴做匀速圆周运动，角速度为ω，物块到轴心的距离为r.则物块受到的静摩擦力大小和方向分别为( )
A.大小为mω2r2，方向与速度方向相反
B．大小为mωr，方向与速度方向相反
C．大小为mωr2，方向沿半径向外
D．大小为mω2r，方向沿半径向里
答案：D
解析：由题可知物体做匀速圆周运动的向心力由摩擦力提供，方向沿半径向里，指向转盘的圆心．根据向心力的公式得摩擦力大小f＝F向＝mω2r.综上所述，D正确．
素养训练1 如图所示，某同学为感受绳子拉力大小与转速、绳长的关系，让绳的一端拴一重物，手牵着绳子另一端在空中甩动，使重物在水平面内做圆周运动．则下列分析正确的是( )
A．若增大转速，保持绳长不变，则拉力不变
B．若增大转速，保持绳长不变，则拉力变小
C．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变小
D．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变大
答案：D
解析：根据向心力公式F＝m4π2n2r可知，若增大转速，保持绳长不变，则拉力变大，故A、B错误；根据向心力公式F＝m4π2n2r可知，若增大绳长，保持转速不变，则拉力变大，故C错误，D正确．
素养训练2
如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
答案：D
解析：物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示，重力G与静摩擦力f平衡，即G＝f，则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力N提供向心力，即N＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力N增大，D正确．
探究点二 向心加速度
归纳总结
1.物理意义：描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．
2．方向特点
(1)指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)．
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变，所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的．
3．匀速圆周运动中的“变”与“不变”
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度、加速度这两个矢量的大小不变．
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻变化．
4．向心加速度与半径的关系
(1)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示．
由a r图像可以看出：向心加速度a与r是成正比还是反比，要看是角速度ω恒定还是线速度v恒定.
典例示范
例2 如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
答案：C
素养训练3
转笔深受广大中学生的喜爱，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关转笔中涉及到的物理知识的叙述，正确的是( )
A．笔杆上各点线速度大小相同
B．笔杆上各点周期相同
C．笔杆上的点离O点越远，角速度越小
D．笔杆上的点离O点越远，向心加速度越小
答案：B
解析：笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，所以笔杆上各点周期相同，角速度相同，C错误，B正确；由v＝ωr知角速度相同时，线速度与半径成正比，笔杆上各点线速度大小不相同，A错误；由a＝ω2r知角速度相同时，向心加速度与半径成正比，笔杆上的点离O点越远，向心加速度越大，D错误．
素养训练4
如图所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小是变化的
D．B物体运动的线速度大小不变
答案：A
【思维方法】
分析向心加速度时两点注意
(1)向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先确定各点是线速度相等，还是角速度相同．在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．
1．匀速圆周运动中的向心加速度是描述( )
A．线速度大小变化的物理量
B．线速度大小变化快慢的物理量
C．线速度方向变化的物理量
D．线速度方向变化快慢的物理量
答案：D
解析：匀速圆周运动线速度大小不变，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，D正确，A、B、C错误．
2．圆周运动是生活中常见的一种运动．把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，如图所示．在如图所示情景中，小球做匀速圆周运动的向心力由下列哪个力提供( )
A．重力
B．支持力
C．支持力在竖直方向上的分力
D．重力与支持力的合力
答案：D
解析：对小球进行受力分析如图所示，重力方向竖直向下，支持力垂直漏斗壁面，向心力指向圆周运动轨迹圆心，重力和支持力合力或者支持力沿水平方向的分量提供向心力，D正确．
3．某变速自行车的传动装置如图所示，曲柄与踏板连接，飞轮与后轮共轴．通过变速调节器可以选择不同齿数的飞轮和牙盘，获得不同的变速比，以更好适应不同路段的骑行需求．某骑手在一段爬坡骑行过程中调用的牙盘和飞轮齿数分别为22和34，踩踏板一周用时约0.65 s．已知该车车轮直径为26英寸(约66 cm)则自行车轮边缘上一质点的向心加速度大小最接近于( )
A．11 m/s2 B．13 m/s2
C．15 m/s2 D．17 m/s2
答案：B
4．一物体做匀速圆周运动，其它条件不变，线速度大小变为原来的2倍，则所需向心力大小变为原来的倍数是( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案：B
5．如图所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，物体与圆盘之间的动摩擦因数相同，在转盘转速缓慢增加的过程中，两物体始终相对盘静止，下列说法正确的是( )
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度大小之比为2∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶2
D．A与B所受摩擦力大小之比为1∶2
答案：A第1课时 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
课 标 要 求
1.通过实际感受，分析归纳出物体做匀速圆周运动的条件，理解向心力概念、来源．
2．通过实验探究，归纳影响向心力大小的因素，理解向心力计算公式含义，并能用公式计算向心力大小．
3．理解向心加速度概念，并能用公式计算向心加速度的大小．
思 维 导 图
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、向心力
1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向________的合力，叫作向心力．
2．方向：始终沿着半径指向________，与________方向垂直．
3．作用效果：向心力只改变速度的________，不改变速度的________．
4．向心力是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的____________命名的．
[导学1]
向心力是根据力的作用效果命名的，它是由其他力或其他力的合力提供的，分析物体受力时不能说物体受到向心力作用．
二、向心力的大小
1．实验探究
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与________的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与________的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与________的关系
2.公式：F＝________或 F＝________．
3．来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．
[导学2]
向心力与圆周运动的关系：不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力迫使物体不断改变速度方向而做圆周运动．
三、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体，在________的作用下产生的指向圆心的加速度．
2．大小：a＝________或a＝________．
3．方向：沿半径指向________，与________方向垂直，且时刻在变化 ，因此匀速圆周运动是加速度方向不断变化的________曲线运动．
4．做非匀速圆周运动的物体的加速度不指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足a＝＝ω2r.
[导学3]
做非匀速圆周运动的物体，合力与速度方向夹角小于90 °时，物体做加速圆周运动；合力与速度方向的夹角大于90 °时，物体做减速圆周运动．
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 向心力
导学探究
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，地球受到了太阳对它的作用力，这个力可能沿什么方向？如图乙所示，细线系着小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，小球受哪些力作用？这些力的合力沿什么方向？
归纳总结
1.向心力的大小：F＝ma＝m＝mω2r.
2．向心力的特点：向心力的方向垂直于速度方向，向心力不是恒力，是变力，做匀速圆周运动的物体的向心力大小恒定．
3．效果：向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力．它的作用效果是只改变速度方向，不改变速度的大小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以提供向心力．受力分析时不分析向心力．
典例示范
例1 如图所示，质量为m的物块随水平转盘绕竖直固定轴做匀速圆周运动，角速度为ω，物块到轴心的距离为r.则物块受到的静摩擦力大小和方向分别为( )
A.大小为mω2r2，方向与速度方向相反
B．大小为mωr，方向与速度方向相反
C．大小为mωr2，方向沿半径向外
D．大小为mω2r，方向沿半径向里
素养训练1 如图所示，某同学为感受绳子拉力大小与转速、绳长的关系，让绳的一端拴一重物，手牵着绳子另一端在空中甩动，使重物在水平面内做圆周运动．则下列分析正确的是( )
A．若增大转速，保持绳长不变，则拉力不变
B．若增大转速，保持绳长不变，则拉力变小
C．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变小
D．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变大
素养训练2
如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
探究点二 向心加速度
归纳总结
1.物理意义：描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢．
2．方向特点
(1)指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)．
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变，所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的．
3．匀速圆周运动中的“变”与“不变”
(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度、加速度这两个矢量的大小不变．
(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻变化．
4．向心加速度与半径的关系
(1)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示．
由a r图像可以看出：向心加速度a与r是成正比还是反比，要看是角速度ω恒定还是线速度v恒定.
典例示范
例2 如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
素养训练3
转笔深受广大中学生的喜爱，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关转笔中涉及到的物理知识的叙述，正确的是( )
A．笔杆上各点线速度大小相同
B．笔杆上各点周期相同
C．笔杆上的点离O点越远，角速度越小
D．笔杆上的点离O点越远，向心加速度越小
素养训练4
如图所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小是变化的
D．B物体运动的线速度大小不变
【思维方法】
分析向心加速度时两点注意
(1)向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先确定各点是线速度相等，还是角速度相同．在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．
随堂演练·自主检测——突出创新性 素养达标
1．匀速圆周运动中的向心加速度是描述( )
A．线速度大小变化的物理量
B．线速度大小变化快慢的物理量
C．线速度方向变化的物理量
D．线速度方向变化快慢的物理量
2．圆周运动是生活中常见的一种运动．把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，如图所示．在如图所示情景中，小球做匀速圆周运动的向心力由下列哪个力提供( )
A．重力
B．支持力
C．支持力在竖直方向上的分力
D．重力与支持力的合力
3．某变速自行车的传动装置如图所示，曲柄与踏板连接，飞轮与后轮共轴．通过变速调节器可以选择不同齿数的飞轮和牙盘，获得不同的变速比，以更好适应不同路段的骑行需求．某骑手在一段爬坡骑行过程中调用的牙盘和飞轮齿数分别为22和34，踩踏板一周用时约0.65 s．已知该车车轮直径为26英寸(约66 cm)则自行车轮边缘上一质点的向心加速度大小最接近于( )
A．11 m/s2 B．13 m/s2
C．15 m/s2 D．17 m/s2
4．一物体做匀速圆周运动，其它条件不变，线速度大小变为原来的2倍，则所需向心力大小变为原来的倍数是( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
5．如图所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，物体与圆盘之间的动摩擦因数相同，在转盘转速缓慢增加的过程中，两物体始终相对盘静止，下列说法正确的是( )
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度大小之比为2∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶2
D．A与B所受摩擦力大小之比为1∶2
1．圆周运动
必备知识·自主学习
一、
1．圆
2．圆弧长度
二、
1．(1)弧长 所用时间 (2)圆周上该点的切线方向 (3)快慢 变速
2．(1)角度Δφ 所用时间Δt (2)快慢
(3)弧度每秒 rad/s
三、
1．运动一周 s 圈数 所用时间 转每秒(r/s)
转每分(r/min) 快慢
2.
四、
1.
2.
关键能力·合作探究
探究点一
【导学探究】
提示：(1)不相同．根据角速度公式ω＝知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快．
(2)秒针的周期是60 s．秒针针尖的线速度v＝，或v＝＝.秒针的角速度ω＝或ω＝＝.
(3)圆心角Δθ与弧长Δs及半径r之间的数学关系为Δθ＝.又因为v＝、ω＝，所以v＝rω.
【典例示范】
例1 解析：
(1)小孩的线速度v＝得v＝2.0 m/s.
(2)他做匀速圆周运动的角速度ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)他做匀速圆周运动的周期T＝＝ s＝4π＝12.6 s．
答案：(1)2.0 m/s (2)0.5 rad/s (3)12.6 s
素养训练1 解析：根据线速度定义式v＝，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3，故A错误；根据角速度定义式ω＝，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动半径r＝，线速度大小之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据ω＝2πn得转速之比为3∶2，故D正确．
答案：D
素养训练2 解析：由题意可知，1 s内速度的矢量三角形为正三角形，即1 s内物体转过的角度为，则可知ω＝＝ rad/s，由v＝ωr可知，物体做匀速圆周运动的半径为r＝ m，D正确．
答案：D
探究点二
【典例示范】
例2 解析：脚踏板的转速等于大齿轮的转速，为n(r/s)，则大齿轮边缘的线速度v1＝2πr1n，小齿轮边缘的线速度也为 v1＝2πr1n，小齿轮和后轮同轴转动，角速度相等，则后轮边缘的线速度即自行车前进的速度为v2＝r3＝，B正确．
答案：B
素养训练3 解析：根据同一转轴角速度相同，即ωA＝ωB，又根据v＝ωr可知线速度大小与半径成正比，所以A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝2∶1，B正确．
答案：B
素养训练4 解析：大小轮边缘具有相同的线速度，周期与线速度的关系为T＝，设小轮半径为r，则大轮半径为2r，则有＝＝，C正确．
答案：C
探究点三
【典例示范】
例3 解析：由公式θ＝ωt＝×kT2得k＝，A错误；若重新调节，将风扇转速加倍，由公式θ＝ωt＝2nπ·kT2考虑圆周运动的周期性，所看到的图案有可能重合一部分，故所看到的图案的圆心角不一定变成2θ，B错误；由公式θ＝ωt＝×kT2，可得，如果T1>kT2，θ小于2π，C错误；若重新调节，只要满足T1＝nT2(n取1、2、3……)时，由圆周运动的周期性可知，所看到的图案一定是“不动”的，D正确．
答案：D
素养训练5 解析：由题设情景分析可知，A、B下一次相遇的条件为θB－θA＝2π，即t＝2π，解得t＝，A、B、C错误，D正确．
答案：D
素养训练6 解析：(1)飞镖水平抛出后做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此飞行时间t＝，飞镖击中P点时，P恰好在最下端，则2r＝gt2，解得圆盘的半径为r＝.
(2)飞镖击中P点，则P点转过的角度θ满足θ＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)
故ω＝＝(k＝0，1，2，…)
圆盘转动角速度的最小值为.
答案： (2)
随堂演练·自主检测
1．解析：匀速圆周运动的物体线速度大小不变，方向时刻改变，所以线速度改变，A正确；B、D错误；匀速圆周运动的角速度不变，根据T＝＝2πn可知 ，匀速圆周运动的周期和转速也不变，C错误．
答案：A
2．解析：质点的角速度为ω＝＝＝ rad/s，A正确．
答案：A
3．解析：由题意可知va＝vb；ωb＝ωc，根据v＝ωr可知ωa＝ωb＝ωc，va＝2vc，根据T＝可知2Ta＝Tb＝Tc，A、B、C错误，D正确．
答案：D
4．解析：带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为20 r/s，即f0＝20 Hz在暗室中用每秒闪光25次的频闪光源照射圆盘，即f′＝25 Hz由于f0答案：B
5．解析：A、B两点在相等的时间内通过的弧长相等，故A、B两点的线速度大小相等，但方向不同，B错误，由v＝rω知，线速度相等时，角速度和半径成反比，故A、B两点角速度不相同，A错误；由题意可知R1＝1.5R2，由图可知，R3＝2R2＋R1＝3.5R2，又由于B点和C点的线速度大小相等，由v＝rω＝2πn·r知B点和C点的转速之比为 nB∶nC＝R3∶R2＝7∶2，C正确；根据v＝rω＝r，TA∶TC＝R1∶R3＝3∶7，D错误．
答案：C
