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2.万有引力定律
课 标 要 求
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式．
2．了解月－地检验的内容和作用．
3．理解万有引力定律的内容、含义及适用条件．
4．认识引力常量测定的物理意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
思 维 导 图
一、万有引力定律的建立
1．行星绕太阳运动的原因猜想：太阳对行星的________．
2．模型建立：行星以太阳为圆心做________运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
引力
匀速圆周
正比
[导学1]
任何两个有质量的物体之间都存在万有引力，由于地球上的物体质量一般很小(与天体质量相比)，地球上的两个物体之间的引力远小于地面对物体的最大静摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起着决定性的作用．
相同
三、万有引力定律
1．内容：任何两个物体之间都存在相互作用的________，引力的大小与这两个物体的质量的________成正比，与这两个物体之间距离的________成反比．
2．公式：F＝________．
3．引力常量：式中G叫作________，大小为6.672×10－11 ________，它是由英国物理学家________在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律．
引力
乘积
平方
引力常量
N·m2/kg2
卡文迪许
[导学2]
万有引力定律适用条件：
(1)相距很远的天体，这时可以将其看成质点．
(2)一个质量分析均匀的球体与球外质点间的万有引力，可用此公式计算，r为球心到质点间的距离．
(3)适用于质量均匀分布的球体，这时r指球心间的距离．
归纳总结
1.万有引力定律的特性：
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合力的相互作用．
(3)宏观性：天体间万有引力较大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力微小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
(4)特殊性：两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，与所在空间的性质无关．
2．万有引力定律的适用条件：
(1)万有引力定律公式适用于质点之间的引力大小的计算．
(2)对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小(物体可视为质点)时也适用．
(3)两个质量分布均匀的球体间的引力大小可用万有引力定律公式求解，公式中的r为两球心之间的距离．
(4)一个质量分布均匀的球体与球外一质点之间的引力大小也可用万有引力定律公式求解，公式中的r为质点到球心之间的距离．
答案：AD
答案：B
素养训练2 地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1
答案：C
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn：方向垂直于自转轴．
(2)物体的重力mg：方向竖直向下，但不一定指向地心：
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；
②在其他位置的重力方向均不指向地心．
典例示范
例2 用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰.如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
答案：C
答案：A
答案：B
答案：D
答案：A
3．如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，则它们之间的万有引力的大小为( )
A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
答案：A
答案：B
5．牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零．沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞的上端无初速度释放一个小球(小球的直径略小于洞的直径)，在小球向下端运动的过程中，你可能不会推导小球速度随时间变化的表示式，但是你可以用所学过的物理知识定性画出小球的速度与时间图像，取向下为正方向，则下列图像中正确的是( )
答案：B
解析：由题意可知，小球在光滑的洞中运动时，所受万有引力的合力先变小后变大，速度先增大后减小，在地心处时速度最大，加速度为零，B正确．2.万有引力定律
课 标 要 求
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式．
2．了解月－地检验的内容和作用．
3．理解万有引力定律的内容、含义及适用条件．
4．认识引力常量测定的物理意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
思 维 导 图
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、万有引力定律的建立
1．行星绕太阳运动的原因猜想：太阳对行星的________．
2．模型建立：行星以太阳为圆心做________运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
3．太阳对行星的引力：
引力提供行星做匀速圆周运动的向心力：F＝________，行星绕太阳运行的线速度：v＝________，行星轨道半径r与周期T的关系：________＝k.于是得出：F＝4π2k，即F∝________．
4．行星对太阳的引力：由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m太成________．
5．行星与太阳间的引力：由F∝，F∝m太，可得F∝，可写成F＝________．
[导学1]
任何两个有质量的物体之间都存在万有引力，由于地球上的物体质量一般很小(与天体质量相比)，地球上的两个物体之间的引力远小于地面对物体的最大静摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起着决定性的作用．
二、月－地检验
1．理论分析：对月球绕地球做匀速圆周运动，由F＝G和a月＝，可得：a月＝，对苹果自由落体，由F＝G和a苹＝
得：a苹＝，由r＝60R，可得：＝.
2.天文观测：已知自由落体加速度g＝9.8 m/s2，月地中心间距r月地＝3.8×108 m，月球公转周期T月＝2.36×106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速度a月＝·r月地≈2.7×10－3 m/s2，≈.
3．检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星间的引力，遵从________的规律．
三、万有引力定律
1．内容：任何两个物体之间都存在相互作用的________，引力的大小与这两个物体的质量的________成正比，与这两个物体之间距离的________成反比．
2．公式：F＝________．
3．引力常量：式中G叫作________，大小为6.672×10－11 ________，它是由英国物理学家________在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律．
[导学2]
万有引力定律适用条件：
(1)相距很远的天体，这时可以将其看成质点．
(2)一个质量分析均匀的球体与球外质点间的万有引力，可用此公式计算，r为球心到质点间的距离．
(3)适用于质量均匀分布的球体，这时r指球心间的距离．
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 万有引力定律的理解
归纳总结
1.万有引力定律的特性：
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合力的相互作用．
(3)宏观性：天体间万有引力较大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力微小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
(4)特殊性：两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，与所在空间的性质无关．
2．万有引力定律的适用条件：
(1)万有引力定律公式适用于质点之间的引力大小的计算．
(2)对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小(物体可视为质点)时也适用．
(3)两个质量分布均匀的球体间的引力大小可用万有引力定律公式求解，公式中的r为两球心之间的距离．
(4)一个质量分布均匀的球体与球外一质点之间的引力大小也可用万有引力定律公式求解，公式中的r为质点到球心之间的距离．
典例示范
例1 (多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
素养训练1 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
素养训练2 地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1
探究点二 万有引力与重力的关系
归纳总结
1．万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F＝G，方向指向地心O，如图所示．万有引力F可分解为两个分力：
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn：方向垂直于自转轴．
(2)物体的重力mg：方向竖直向下，但不一定指向地心：
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；
②在其他位置的重力方向均不指向地心．
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大．
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝F＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2.
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G.
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心．
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小．
(1)在地面附近：mg＝G.
(2)距离地面h高度处：mgh＝G(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
典例示范
例2 用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰.如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
素养训练3 地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C．R D．2R
素养训练4 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( )
A． B． C． D．
随堂演练·自主检测——突出创新性 素养达标
1．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的
2．两个相距为r的小物体，它们之间的万有引力为F，若保持距离不变，将它们的质量都增大3倍，那么它们之间万有引力的大小将变为( )
A．9F B．3F C． D．
3．如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，则它们之间的万有引力的大小为( )
A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
4．2020珠峰高程测量登山队于北京时间5月27日上午11时整，成功登顶珠峰，人类首次在珠峰峰顶开展重力测量．如果忽略地球自转的影响，测得一个物体在峰底的重力为G1，在峰顶的重力为G2，峰底离地心的距离为R，则峰顶到峰底的高度为( )
A．(1－)R B．(－1)R
C．(－1)R D．(1－)R
5．牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零．沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞的上端无初速度释放一个小球(小球的直径略小于洞的直径)，在小球向下端运动的过程中，你可能不会推导小球速度随时间变化的表示式，但是你可以用所学过的物理知识定性画出小球的速度与时间图像，取向下为正方向，则下列图像中正确的是( )
2．万有引力定律
必备知识·自主学习
一、
1．引力
2．匀速圆周
3．m
4．正比
5．G
二、
3．相同
三、
1．引力 乘积 平方
2．G
3．引力常量 N·m2/kg2 卡文迪许
关键能力·合作探究
探究点一
【典例示范】
例1 解析：公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对．
答案：AD
素养训练1
解析：设物体的质量为m，地球的质量为M地，地球半径为R地，地球对该物体的引力大小为F地，火星的质量为M火，火星半径为R火，火星对该物体的引力大小为F火．根据万有引力定律得F地＝，F火＝，根据题意知，R地＝2R火，M地＝10M火，联立解得＝0.4，故B正确，A、C、D项错误．
答案：B
素养训练2
解析：设月球质量为m，地球与月球球心间距离为r，飞行器质量为m0，则地球质量为81m，当飞行器距月球球心的距离为r′时，月球对它的引力等于地球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故C正确．
答案：C
探究点二
【典例示范】
例2 解析：在北极处，F引＝G，没有向心力，重力等于万有引力，故A、B错误．在赤道处，F引－G′＝F向，再结合题意＝3‰知，在赤道处：＝＝＝3‰，故C正确．赤道处：＝＝1－＝997‰，故D错误．
答案：C
素养训练3 解析：设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G，解以上两式得：h＝(－1)R，A正确．
答案：A
素养训练4 解析：在地球的两极处有G＝mg0；在赤道处有G－mg＝m()2R，又地球质量与地球半径的关系M＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝，故B正确．
答案：B
随堂演练·自主检测
1．解析：根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，A不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，B不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体间的距离减少为原来的，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，C不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，D符合题意．
答案：D
2．解析：甲、乙两个质点相距为r时，它们之间的万有引力大小为F＝，若保持它们各自的距离不变，将它们之间的质量增大3倍，则甲、乙两个质点间的万有引力大小为F′＝＝9＝9F，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
3．解析：根据万有引力定律F＝
＝ N＝6.67×10－5N，相比自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8 N＝9.8×107 N，该引力完全可以忽略，A正确，B、C、D错误．
答案：A
4．解析：如果忽略地球自转的影响，在峰底时满足G1＝G，在峰顶时满足G2＝G，联立解得h＝( －1)R，B正确．
答案：B
5．解析：由题意可知，小球在光滑的洞中运动时，所受万有引力的合力先变小后变大，速度先增大后减小，在地心处时速度最大，加速度为零，B正确．
答案：B
