(共35张PPT)
3.预言未知星体 计算天体质量
课 标 要 求
1.了解万有引力定律在天文学上的应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法．
思 维 导 图
一、预言慧星回归和未知星体
1．预言彗星回归：哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论，预言彗星回归的时间，并得到证实．
2．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
[导学1]
海王星发现之后，人们发现它的轨道与理论计算轨道不一致，表明海王星外面还有未知的天体．人们又发现了冥王星等几颗较大的天体．
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v
轨道半径r
角速度ω
轨道半径r
周期T
轨道半径r
典例示范
例1 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度．
答案：A
素养训练2 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案：C
【思维方法】
估算天体质量的思路
要估算中心天体的质量，只要找到一个绕其运行的卫星(不管是天然的还是人造的)，知道卫星运动快慢的任意一个物理量，卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，写出关系式，计算可得中心天体的质量．
探究点二 天体运动的分析和计算
导学探究
如图所示为太阳系的其中六个行星围绕太阳运动的示意图．
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
提示：地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
典例示范
例2 金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
答案：A
素养训练3 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动， 已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，则( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案：D
答案：B
1．一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
答案：B
答案：A
3．通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的质量和线速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的速度和角速度
答案：D
答案：D
答案：C3.预言未知星体 计算天体质量
课 标 要 求
1.了解万有引力定律在天文学上的应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法．
思 维 导 图
必备知识·自主学习——突出基础性 素养夯基
一、预言慧星回归和未知星体
1．预言彗星回归：哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论，预言彗星回归的时间，并得到证实．
2．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
[导学1]海王星发现之后，人们发现它的轨道与理论计算轨道不一致，表明海王星外面还有未知的天体．人们又发现了冥王星等几颗较大的天体．
二、计算天体质量
1．地球质量的计算
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)关系式：mg＝G.
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力．
(2)关系式：根据万有引力提供行星运动的向心力有G＝mr.
(3)结论：mS＝，只要知道行星的公转周期T和它和太阳间的距离r就可以计算出太阳的质量．
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M＝.
[导学2]计算天体质量常用的两种思路：
(1)黄金代换式：GM＝gR2；
(2)万有引力提供向心力，有＝＝mω2r＝mr.
关键能力·合作探究——突出综合性 素养形成
探究点一 天体质量和密度的计算
归纳总结
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”．
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v 轨道半径r G＝m M＝
角速度ω 轨道半径r G＝mrω2 M＝
周期T 轨道半径r G＝mr M＝
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝.
当卫星环绕天体表面附近运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
典例示范
例1 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度．
素养训练1 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A． B． C． D．
素养训练2 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【思维方法】
估算天体质量的思路
要估算中心天体的质量，只要找到一个绕其运行的卫星(不管是天然的还是人造的)，知道卫星运动快慢的任意一个物理量，卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，写出关系式，计算可得中心天体的质量．
探究点二 天体运动的分析和计算
导学探究
如图所示为太阳系的其中六个行星围绕太阳运动的示意图．请思考：
(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？
(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？
归纳总结
1.天体运动的定性分析
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π，r越大，天体的T越大．
(4)由G＝ma得a＝，r越大，天体的a越小．
2．天体运动的定量计算
(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
(2)常用的关系式：
①G＝m＝mω2r＝mr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
②mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力．该公式通常被称为黄金代换式．
典例示范
例2 金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
素养训练3 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动， 已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，则( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
素养训练4 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，命名为“55Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地
球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
随堂演练·自主检测——突出创新性 素养达标
1．一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
2．登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球作匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，不考虑地球对登月舱的作用力，引力常量G＝，则月球质量约为( )
A．6.7 ×1022 kg B．6.7 ×1023 kg
C．6.7 ×1024 kg D．6.7×1025 kg
3．通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的质量和线速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的速度和角速度
4．卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．卫星的线速度大小为v＝
B．地球的质量为M＝
C．地球的平均密度为ρ＝
D．地球表面重力加速度大小为g＝
5．经过约38万公里、一周左右的地月转移、近月制动、环月飞行之旅，2020年12月1日晚间，嫦娥五号探测器稳稳降落在月球正面风暴洋北部吕姆克山、夏普月溪附近．这是中国探测器第三次在月球表面成功软着陆，也是人类探测器首次踏足月球上的这一区域．已知地球的质量是月球质量的a倍，地球的半径是月球半径的b倍，卫星绕地球转动的第一宇宙速度为v.则嫦娥五号探测器在月球表面附近环月飞行的速度为( )
A．v B．v C．v D．v
3．预言未知星体 计算天体质量
关键能力·合作探究
探究点一
【典例示范】
例1 解析：卫星距天体表面的高度为h时，有G＝m(R＋h)，则该天体的质量M＝，则该天体的密度ρ＝＝＝.
答案：
素养训练1 解析：根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝.
答案：A
素养训练2 解析：脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
答案：C
探究点二
【导学探究】
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力．
(2)由G＝ma＝m＝mω2r＝mr表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关，轨道半径越大，周期越大，线速度、角速度及向心加速度越小．
【典例示范】
例2 解析：行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：
由G＝ma得向心加速度a＝，
由G＝m得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确．
答案：A
素养训练3 解析：根据G＝m()2r＝m＝ma＝mω2r得，公转周期T＝2π，则地球公转的周期较小，故A错误；公转的线速度v＝ ，则地球公转的线速度较大，故B错误；公转的加速度a＝，则地球公转的加速度较大，故C错误；公转的角速度ω＝，则地球公转的角速度较大，故D正确．
答案：D
素养训练4 解析：根据牛顿第二定律和万有引力定律得＝G，解得r3＝×VT2，所以轨道半径之比为＝＝，故A错误，B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式Gm＝ma，解得向心加速度a＝G，所以向心加速度之比约为＝×()2＝60×()2＝ ，故C、D错误．
答案：B
随堂演练·自主检测
1．解析：在天体表面有G＝mg，所以M＝，因为半径相同，所以可得：该星球质量是地球质量的2倍，B正确．
答案：B
2．解析：由题意可知：h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230 s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，设月球的质量为M，登月舱的质量为m，由月球对登月舱的引力提供向心力．可得G＝m(R＋h)，解得M＝，代入数据解得M＝6.7×1022 kg，A正确，B、C、D错误．
答案：A
3．解析：根据G＝m可知，卫星的质量可以约去，只知道半径或者线速度，不能求出冥王星质量，故A、B错误；根据G＝mω2r可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度不能求出冥王星质量，故C错误；卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径r＝，根据G＝mωv即可求解冥王星质量M，故D正确．
答案：D
4．解析：卫星的线速度大小为：v＝，故A错误；根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得：M＝，故B错误；地球密度为：ρ＝，其中V＝πR3，联立以上可得：ρ＝，故C错误；在地球表面根据万有引力等于重力：G＝mg，又M＝，联立解得：g＝，故D正确．
答案：D
5．解析：由G＝m得卫星绕地球转动的第一宇宙速度为v＝ ，代入计算可得嫦娥五号探测器在月球表面附近环月飞行的速度为v′＝＝v，故C正确，A、B、D错误．
答案：C
