第六章 6.4.3.2 正弦定理 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第六章
6.4 平面向量的应用
6.4.3.2 正弦定理
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会归纳并证明正弦定理. 1.逻辑推理素养、数学运算素养.
2.掌握正弦定理及其变形推论. 2.数学抽象素养.
3.会用正弦定理解决解三角形问题. 3.逻辑推理素养、数学运算素养.
温故知新
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，
1.三内角关系：A+B+C=180°；
2.三边关系：;
3.边角关系：
Ⅰ.大边对大角，即.
Ⅱ.余弦定理.
知新探究
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边角关系转化为：
在△ABC中，设A的对边为，B的对边为，求之间的关系.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系分析入手.根据锐角三角函数，在Rt△ABC(如图），有
A
B
C
b
a
c
,,

.
.
.
对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？
知新探究
当△ABC是钝角三角形时，作BC上的高AD(如图）,根据三角函数定义，得到
A
B
C
b
a
c
D
,,
同理可得,

.
A
B
C
b
a
c
D
当△ABC是锐角三角形时，作BC上的高AD(如图）,根据三角函数定义，得到
,,

同理可得,
.
知新探究
正弦定理（sine theorem) 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
综上可得
在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
向量的数量积运算中出向量角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
由诱导公式可知,我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转为正弦关系.
知新探究
向量证法：
如图，在锐角△ABC中，过A作与垂直的单位向量，则的夹角为，的夹角为.
∵+=,
∴(+)=.
由分配律，得
+=
即 coscos(-C)=cos(-A).
也即.
∴.
同理，过C作垂直的单位向量，可得
则.
知新探究
向量证法：
综上，对任意△ABC，都有
.
当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图).
过A作与垂直的单位向量，则的夹角为，的夹角为.
仿照上述方法，同样得
.
想一想：正弦定理还有其它证法吗？你来试一试！
新知探究
外接圆法：
①在锐角△ABC中，如图1，连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角A′＝A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴sin A′，
∴∠A′CB＝90°，
∴
同理可证 .
则.
②若∠A为直角(如图2所示)，在Rt△BAC中，可直接得
.
新知探究
外接圆法：
③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，
则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，
BC＝A′Bsin A′＝2Rsin(π－A)＝2Rsin A，
∴
同理可证 .
则.
.
由①②③可得，对任意△ABC，都有
新知探究
面积法：
则△ABC的面积S=.
②当C为钝角时，如下图所示，仍设的BC边上的高为AD，则可知
①当C为锐角时（如图），作高AD,则
，
.
则仍有S=.
③当C为直角时，，S=仍成立.
综上，S=.
同理可得，S=.
∴S=.
则.
∴
新知探究
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
正弦定理：(R为△ABC外接圆的半径）
正弦定理的常用变形 ：
⑴;
⑵;
⑶
⑷；
⑸S=.
新知探究
【例1】在△ABC 中，已知，解这个三角形 .
解：
由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
.
.
.
.
.
初试身手
1.在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
A.4 B.4 C.4 D.
解：
.
由正弦定理，得
.
故选C.
由三角形内角和定理，得
C
初试身手
2.在△ABC中，已知,求得值.
解：
,且A为锐角.
∴
.
由正弦定理，得
由，得
∴.
.
新知探究
【例2】在△ABC中，已知,解这个三角形.
解：
由正弦定理，得
.
∵,
即,
∴,
分析：这是已知三角形的两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
⑴当时，,此时
.
.
.
⑵当时，,此时
.
.
新知探究
思考：为什么C有两个值？
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理，可能有两解.
A
C
b
或 有一个解
A
C
b
B
时无解
A
C
b
时有两个解
初试身手
由正弦定理,得
3.(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B的大小可能为(　　)
A．30° B．150° C．60° D．120°
解：
.
∴
即B=60°，或B=120°.
则选CD.
∵,
CD
初试身手
由正弦定理,得
4.在△ABC中，已知c＝，a＝2，A＝45°，解这个三角形．
解：
.
∴
即C=60°，或C=120°.
∵,
⑴当时，,此时
.
.
.
⑵当时，,此时
.
.
.
新知探究
方法1：∵
解：
由余弦定理,得,
∵,
∴,即.
【例3】在△ABC中，已知，且,试判断△ABC的形状．
∴,即
∴，即
∴C=90°,A+B=90°.
则△ABC为等腰直角三角形．
方法2：∵
∵A、B都为锐角，∴A=B，则△ABC为等腰直角三角形．
初试身手
5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为已知，试判断△ABC的形状．
解：
∴.
由正弦定理，得
则△ABC是直角三角形.
由三角形内角和定理，得B+C=180°-A.
,
∵，
∴
∴
课堂小结
1.正弦定理的推导
①三角函数法； ②向量法； ③外接圆法；④面积法.
2.正弦定理
3.利用正弦定理解三角形
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角；
③判断三角形形状.
(R为△ABC外接圆的半径）
正弦定理的常用变形 ：
⑴;
⑵;
⑶
⑷；
⑸S=.
作业布置
作业： P48 练习 第2，3题 P53 习题6.4 第7题.
补充：
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为(　　)
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
2.在△ABC中，若，则C＝________.
3.在△ABC中，已知，试求c及△ABC的外接圆半径R.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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