香樟中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
2．若直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，若，则实数 （ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
5．设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．
7．几何体是平行六面体，底面为矩形，其中，且，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论不正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
11．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则
12．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线与圆的轨迹一定相交 B．直线与圆交于两点，则的最大值为
C．圆上点到直线距离的最大值为 D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
三、填空题
13．动直线过定点，则的坐标为 .
14．事件、是相互独立事件，若，，，则实数的值为 .
15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的方程为 .
16．如图，已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
17．已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程．（3）求AC边的垂直平分线
18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程；
(2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程.
19．已知盒子装有个红球个白球，盒子装有个红球个白球，它们除了颜色不同外大小材质相同．
(1)若甲从盒中一次抽取个球，求两个球颜色不同的概率；
(2)若甲从盒中，乙从盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取球，求甲、乙共抽到个红球的概率．
20．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，⊥底面，，， ，点E为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
22．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．数学参考答案
一．单选题
1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C
二．多选题
9．BC 10．ABD 11．AD 12．AD
三．填空题
13． 14． 15． 16．
四．解答题
17．(1)(2) (3)
【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，
又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，
整理得：；
（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为-2，
又，则边上的高的直线方程为，
整理得：．
18．【详解】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为，
又两顶点间距离是8，即，所以，
且，所以，
又，
所以双曲线方程为.
（2）因为双曲线中，
设椭圆方程为，
则，解得，
所以椭圆方程为.
19．(1)(2)
【详解】（1）解：设盒中的个红球分别为，，，，2个白球分别为，，
则甲从盒中抽取个球的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，共15个，
两个球颜色不同的基本事件有，，，，，，，共8个，
所以甲从盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为.
（2）解：由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：
①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为，
②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为，
③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为，
④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为，
所以甲、乙共抽到3个红球的概率为.
20．(1)(2)或
【详解】（1）设动点P的坐标为，
则由点，动点P满足，得，
化简得，
即动点P的轨迹C的方程；
（2）轨迹C为圆心为，半径为2的圆，
由于直线与轨迹C交于E，F两点，
故到的距离为，
则，解得，
此时，满足直线与轨迹C交于E，F两点，
故直线的方程为或，
即或.
21．(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：取中点M，连接，如图:
∵E，M分别为的中点，∴，且，
又，可得，且，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵⊥底面，，，
于是，，平面，，
∴平面，又平面，∴，
∴．
（2）由（1）可知，两两垂直，以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
,
,
设平面的一个法向量，
则，即，令，，得，.
又，.
设直线与平面所成角为，则
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，平面的一个法向量，.
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为，.
设二面角的平面角为θ，
结合图像可知，.
故二面角的余弦值为.
22【详解】
【详解】（1）设动圆的半径为，
依题意得，所以为定值，且，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
，，，，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
设，，
则，两式相减得，
得，即，
由点斜式得直线方程为，即.
所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.
