第六章 6.2.4组合数
一．选择题
1．计算：C＋C＋C＝( )
A．120 B．240
C．60 D．480
2．有10个一模一样的小球，现分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情形有( )
A．15种 B．12种
C．9种 D．6种
3．方程C＝C的解集为( )
A．{4} B．{14}
C．{4,6} D．{14,2}
4．有6名男教师、5名女教师，从中选出2名男教师、1名女教师组成一个小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加学校组织的活动，若按性别比例采用分层随机抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 B．112
C．56 D．28
6．(多选)(2023年宁德期末)使不等式：C≥C(n∈N*)成立的n的取值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．(2023年泸州二模)2022年北京冬奥会速度滑冰、花样滑冰、冰球三个项目竞赛中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是( )
A．18 B．27
C．36 D．48
8．把12个一模一样的球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同的放法有几种？
9．(多选)男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生的人数可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
10．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多 B．乙多
C．一样多 D．不确定
二．填空题
11．若C＞3C，则m的值为________．
12．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
13．如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道．图中有______个矩形； 从A点走向B点最短的走法有______种．
14．5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个小球，共有________种不同的方法(用数字作答)．
三．解答题
15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？第六章 6.2.4组合数
一．选择题
1．计算：C＋C＋C＝( )
A．120 B．240
C．60 D．480
【答案】A 【解析】C＋C＋C＝C＋C＝C＝120.
2．有10个一模一样的小球，现分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情形有( )
A．15种 B．12种
C．9种 D．6种
【答案】A 【解析】首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩4个球．
①4个球分给1个人，有C＝3种分法；
②4个球分给2个人，有3C＝9种分法；
③4个球分给3个人，有3种分法．
共有3＋9＋3＝15种分法．
3．方程C＝C的解集为( )
A．{4} B．{14}
C．{4,6} D．{14,2}
【答案】C 【解析】由题意知或解得x＝4或6.
4．有6名男教师、5名女教师，从中选出2名男教师、1名女教师组成一个小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
【答案】C 【解析】由题意知，选2名男教师、1名女教师的方法有CC＝75(种)．
5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加学校组织的活动，若按性别比例采用分层随机抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 B．112
C．56 D．28
【答案】B 【解析】由分层随机抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝112.
6．(多选)(2023年宁德期末)使不等式：C≥C(n∈N*)成立的n的取值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】ABC 【解析】在C中，n∈N＋，n≥2，在C中，n∈N＋，n≥3，即有n∈N＋，n≥3，因C≥C，则有≥，即n－2≤3，解得n≤5，因此有3≤n≤5，n∈N＋，所以m的取值可以是3或4或5.故选ABC．
7．(2023年泸州二模)2022年北京冬奥会速度滑冰、花样滑冰、冰球三个项目竞赛中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是( )
A．18 B．27
C．36 D．48
【答案】C 【解析】因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素，与丙、丁、戊分配到三个项目，因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素，所以共有CA＝6×6＝36种方案．故选C．
8．把12个一模一样的球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同的放法有几种？
解：给每个盒子放入与其编号数相同的小球，则还剩2个小球．这2个小球可以放在1个或2个盒子中，故不同的放法有C＋C＝10(种)．
9．(多选)男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生的人数可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】BC 【解析】设女生有n人，则男生有(8－n)人，由题意得C·C＝30，即·n＝30，将选项中的值分别代入验证，得n＝2和n＝3满足方程，n＝1和n＝4不满足方程．故选BC．
10．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多 B．乙多
C．一样多 D．不确定
【答案】C 【解析】两只是同色手套的取法有C＋C＝150(种)．两只不是同色手套的取法有C·C＝150(种)．
二．填空题
11．若C＞3C，则m的值为________．
【答案】7或8 【解析】由＞，得m>27－3m，所以m>.又0≤m－1≤8,0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，所以m＝7或8.
12．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
【答案】60 【解析】根据题意，所有可能的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．
13．如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道．图中有______个矩形； 从A点走向B点最短的走法有______种．
【答案】210 210 【解析】在7条东西向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形CC＝210(个)；每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有CC＝210种走法．
14．5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个小球，共有________种不同的方法(用数字作答)．
【答案】150 【解析】先把5个小球分组，分法有些2,2,1和3,1,1，两种，再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有A＝150(种)．
三．解答题
15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·(C·C)A＝576(种)．
