第六章 6.3.2二项式系数的性质
一．选择题
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是( )
A．第(n－k)项
B．第(n－k－1)项
C．第(n－k＋1)项
D．第(n－k＋2)项
2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第9项
B．第8项
C．第9项和第10项
D．第8项和第9项
3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为64，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．1
C．2 D．2×39
6．(2023年汕尾期末)已知n的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则n的展开式中的常数项为( )
A．－240 B．240
C．－60 D．60
7．(多选)(2023年龙岩期末)关于5的展开式，下列结论正确的是( )
A．各项二项式系数之和为32
B．各项系数之和为－1
C．存在常数项
D．x3项的系数为80
8．(多选)(2023年亳州期末)已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，下列命题中，正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B．展开式中所有奇次项系数的和为－
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．＋＋＋…＋＝－1
9．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
二．填空题
10．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
11．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
12．(2023年威海期末)在n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为________．
三．解答题
13．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)求a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
14．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．第六章 6.3.2二项式系数的性质
一．选择题
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是( )
A．第(n－k)项
B．第(n－k－1)项
C．第(n－k＋1)项
D．第(n－k＋2)项
【答案】D 【解析】第k项的二项式系数是C，由于C＝C，第(n－k＋2)项的二项式系数为C.故选D．
2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第9项
B．第8项
C．第9项和第10项
D．第8项和第9项
【答案】A 【解析】因为展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．
3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为64，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C 【解析】由2n＝64，得n＝6.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】B 【解析】x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6.
5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．1
C．2 D．2×39
【答案】A 【解析】令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
6．(2023年汕尾期末)已知n的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则n的展开式中的常数项为( )
A．－240 B．240
C．－60 D．60
【答案】D 【解析】由已知可得，第2项和第6项的二项式系数相等，则C＝C，解得n＝6，则6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·r＝C·(－2)rx6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，则展开式的常数项为C·(－2)2＝15×4＝60.故选D．
7．(多选)(2023年龙岩期末)关于5的展开式，下列结论正确的是( )
A．各项二项式系数之和为32
B．各项系数之和为－1
C．存在常数项
D．x3项的系数为80
【答案】ABD 【解析】5的展开式的所有二项式系数和为25＝32，故A正确；取x＝1，可得所有项的系数和为－1，故B正确；展开式的通项为Tr＋1＝C·5－r·(－2x)r＝(－2)r·C·x2r－5，由2r－5＝0，得r＝(舍去)，故不存在常数项，C错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴含x3项的系数为(－2)4C＝80，故D正确．故选ABD．
8．(多选)(2023年亳州期末)已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，下列命题中，正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B．展开式中所有奇次项系数的和为－
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．＋＋＋…＋＝－1
【答案】ABD 【解析】对于A，由二项式知，C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 021＝22 021，正确；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－1，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021＝32 021，对于B，由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，正确；对于C，由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝，错误；对于D，由二项式通项知，Tr＋1＝C·(－2x)r＝(－2)rCxr，则a1＝(－2)·C，a2＝(－2)2·C，…，a2 021＝(－2)2 021·C，所以＋＋＋…＋＝－C＋C－C＋…＋C－C＝(1－1)2 021－C＝－1，正确．故选ABD．
9．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
【答案】D 【解析】(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝55.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
二．填空题
10．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
【答案】5 【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
11．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
【答案】6x 【解析】因为8＜C＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
12．(2023年威海期末)在n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为________．
【答案】15 【解析】由题知n＝6，则Tr＋1＝C·x6－r·r＝C·(－1)r·x6－，
令6－＝3，得r＝2，所以展开式中x3的系数为C·(－1)2＝15.
三．解答题
13．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)求a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，则a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100①，
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②.
①－②，可得a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)由①②，可得(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.
14．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．
解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.
