唐山市2023—2024学年度高二年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.
1. 抛物线y2＝x的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则（ ）
A. 1 B. C. D. 5
3. 记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 27 B. 36 C. 45 D. 78
4. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10. 数列满足：，，则（ ）
A. B.
C. 为单调递减数列 D. 为等差数列
11. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B一点，则（ ）
A. C的焦点到其渐近线的距离为
B. 直线与的斜率之积为2
C. 过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D. 点P到两条渐近线距离之积为
12. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）
A. 四面体的体积是定值
B. 直线与平面所成角的范围是
C. 若P，Q分别是棱，的中点，则
D. 若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等比数列的公比为q，且，，，则______.
14. 已知，，且，则______.
15. 已知直线l与圆相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为______.（写出一个满足条件的方程即可）
16. 已知点在抛物线上，则______；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线与圆相交于A，B两点.
（1）若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离；
（2）求弦的长度.
18. 数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前n项和.
19. 如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 数列满足，，.
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）若，求数列的前n项和.
21. 如图，三棱柱侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，.
（1）证明：；
（2）设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？
22. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）.
（1）求方程；
（2）记的面积为，的面积为，求的取值范围.唐山市2023—2024学年度高二年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.
1. 抛物线y2＝x的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标.
【详解】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为，
故选:B．
【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下：
的焦点坐标 ,准线方程；
的焦点坐标 ,准线方程.
2. 已知向量，则（ ）
A. 1 B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量模长的坐标运算即可得出答案.
【详解】,
故选：C.
3. 记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 27 B. 36 C. 45 D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得.
【详解】因是等差数列的前n项和，则成等差数列，
于是，代入，，解得：，
又,代入上述值，解得：.
故选：D.
4. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】考查圆与圆的公切线问题，先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.
【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，
故选：C
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列，
因此，，所以的公差为1，
故，
故选：B
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.
【详解】，设为线段中点，
，设，则，即．
则线段中点轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；
故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.
故选：D
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.
【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率.
【详解】设，则，，
，，
因为，即，
整理得，即，即，
由题可知，则，即，
则，则，则，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，根据题意得到，再结合点在椭圆上即可得到离心率.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】
【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D.
【详解】当时，，
，则，所以两直线垂直，A正确；
若两直线平行，则，解得，
经检验，当时，两直线平行，B错误；
由，即，
所以直线恒过定点，C正确；
由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误.
故选：AC
10. 数列满足：，，则（ ）
A. B.
C. 为单调递减数列 D. 为等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据递推关系可证明为等差数列，且公差为1，即可利用等差数列的通项求解，结合选项即可逐一求解.
【详解】由可得，因此为等差数列，且公差为1，故D正确，
由于为等差数列，且公差为1，所以，故，
故为单调递减数列，C正确，
，故，A正确，
，，B错误，
故选：ACD
11. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ）
A. C焦点到其渐近线的距离为
B. 直线与的斜率之积为2
C. 过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D. 点P到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【解析】
【分析】求出双曲线渐近线方程为，焦点为，设，由点到直线距离公式可判断A、D；由双曲线和直线的对称性可设，，由两点的斜率公式可计算，B错误；联立方程组，由弦长公式判断C.
【详解】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，A正确；
对B，由双曲线和直线的对称性可设，，，
则，
所以，故B错误；
对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2；
当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大；
综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为，
又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误；
对D，点到两条渐近线的距离之积：
，D正确.
故选：AD.
.
12. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）
A. 四面体的体积是定值
B. 直线与平面所成角的范围是
C. 若P，Q分别是棱，的中点，则
D. 若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
【答案】ABC
【解析】
分析】由体积公式计算判断A;由线面角公式判断B;由距离计算判断C;由截面做法及计算判断D.
【详解】因为四面体的体积为，h为到底面的距离为定值2，
为定值,故四面体的体积是定值，A正确；
连接，易得平面，
故平面，则到平面的距离即为到平面的距离；
又，平面，
则平面，则到平面的距离为，
易得，则直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的范围是，故B正确；
若P，Q分别是棱，的中点，易得，故C正确；
取中点M,中点N,连接，
易知故四边形为平行四边形，则，
易知，故，故经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面为梯形，
如图：
又易得，，
作易得为矩形，
设，则，
由则，解得，
故，
故四边形的面积为，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题考查正方体性质，线面角及截面问题，明确截面形状是解决D的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等比数列的公比为q，且，，，则______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据等比数列，得，求出的值即可.
【详解】因为等比数列的公比为q，且，，，
所以，即，即，解得或（舍），
故答案：.
14. 已知，，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据列出比例式，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
15. 已知直线l与圆相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为______.（写出一个满足条件的方程即可）
【答案】或或或（任写一个都对）
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系找出圆上所有符合题意的切点，求出切线斜率即可求得切线方程.
【详解】易知圆C的圆心为点，半径为；
圆C经过的整点有4个，即，，，.
①切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
②切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
③切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
④切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
故答案为：或或或（任写其一）
16. 已知点在抛物线上，则______；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为______.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由抛物线过点求出；设直线的方程为：，，联立，得，利用韦达定理，通过，转化求解出直线方程，推出直线经过的定点.
【详解】
因为点在抛物线上，所以，解得；
抛物线，由题意知，直线斜率不存在时，不符合题意，
设直线的方程为：，，
联立，得，
所以，
因为，所以，
，，
所以，即，
所以，即，
验证 ，
所以，
直线经过的定点坐标为，
故答案为：2；.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线与圆相交于A，B两点.
（1）若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离；
（2）求弦的长度.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）计算圆心到直线的距离，加上半径即为最大距离；
（2）由圆中弦长公式可解.
【小问1详解】
圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以点P到直线l的最大距离为.
【小问2详解】
，即，
解得.
18. 数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，代入等量关系即可求解；
（2）利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式进行分组求和即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
或，又因为，所以，
所以.
【小问2详解】
，
则
.
19. 如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“由中点找中点”得到，易得平面；
（2）根据题设建系，求出相关点和向量的坐标以及平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
如图，取的中点F，连结，.
因为E为的中点，所以，.
因为，，所以，.
即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
如图，取的中点O，的中点G，连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，故.
分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，则，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则
设直线与平面所成角为，则
.
即直线与平面所成角的正弦值为.
20. 数列满足，，.
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）若，求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解；
（2）利用等差数列的定义证明即可；
（3）先用累加法求出，然后用裂项相消法求出.
【小问1详解】
令，得；
令，得.
【小问2详解】
，
所以是以为首项，2为公差的等差数列.
【小问3详解】
由（2）得，
所以
，
所以，
所以.
21. 如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，.
（1）证明：；
（2）设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，进而根据线面垂直的性质求证线线垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
【小问2详解】
如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
由，得，
得，
设平面的法向量为.
由得
取，
取平面的一个法向量为.
设面与面夹角为，则
，
即，解得
.
22. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）.
（1）求的方程；
（2）记的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据长轴长确定，根据离心率得到，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设出直线方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，计算，设，解不等式得到答案.
【小问1详解】
已知长轴长为4，则，解得，
因为的离心率为，所以，解得，所以，
所以的方程为.
【小问2详解】
，，，
①当l斜率不存在时，，，，
②当l斜率存在时，显然斜率不为零，
设，，，
联立，得，，
所以，，，
因为，
所以，又，
设，则，，解得且，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是常考的方法，需要熟练掌握.
