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(总课时01)§1.1等腰三角形（1）
【学习目标】理解作为证明基础的几条公理的内容，证明等腰三角形的性质定理
【学习重难点】掌握证明的基本要求和方法.
【导学过程】
一.知识回顾
回忆并整理已经学过的8条基本事实：
1.___确定一条直线.2.两点之间线段___.3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线___.
4两直线被第三条直线所截,如果同位角___,那么这两条直线___（简述为：同位角___，两直线___）
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线___.6.____________分别相等的两个三角形全等（SAS）
7._________分别相等的两个三角形全等（ASA）；8.___分别相等的两个三角形全等（SSS）
二.探究新知
1.证明两个三角形全等的思路
练习1.（2019·云南中考）如图1，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．
2.等腰三角形的性质定理及其推论
性质定理：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C
证明：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB＝AC（___）
BD＝DC（___） ∴△ABD≌△ACD（___）∴∠B＝∠C（________________________）
AD＝AD（______）
推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.（俗称：等腰三角形的“三线合一”）
可分解成下面三个方面来理解：
三.典例新知
例1.如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，求CE的长．
练习2.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
例2.如图5已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.猜想：_______________
练习3.如图6，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
例3.如图7，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为( )
A．15° B．20° C．25° D．40°
练习4.如图8，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,∠BAC=100°.求∠1、∠3、∠B的度数.
四.课堂小结
1.等腰三角形的性质：____________.
2.等腰三角形性质的推论：____________.
3.全等三角形的性质:全等三角形的对应边___,对应角___.
五.分层过关
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A.30°，60° B.45°，45° C.45°，90° D.20°，70°
2.如图9，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A.18° B.24° C.30° D.36°
3.如图10,若△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
4.如图11，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC=12，则高AD=___．
5.如图12，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为_____.
6.如图13，点B、D、E、C在同一条直线上，且AB=AC、AD=AE
求证：BD=CE
7.如图14,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
图1
图2
D
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
（已知）如图3
∴__________________
（等腰三角形三线合一）
（2）∵AB＝AC，BD＝DC
（已知）如图3
∴__________________
（等腰三角形三线合一）
（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）如图3
∴_______________
（等腰三角形三线合一）
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图12
图11
图13
图14
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(总课时01)§1.1等腰三角形（1）
【学习目标】理解作为证明基础的几条公理的内容，证明等腰三角形的性质定理
【学习重难点】掌握证明的基本要求和方法.
【导学过程】
一.知识回顾
回忆并整理已经学过的8条基本事实：
1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8.三边分别相等的两个三角形全等（SSS）
二.探究新知
1.证明两个三角形全等的思路
练习1.（2019·云南中考）如图1，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D．
证明：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，CB＝CD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠D．
2.等腰三角形的性质定理及其推论
性质定理：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C
证明：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB＝AC（已知）
BD＝DC（作图） ∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
AD＝AD（公共边）
推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.（俗称：等腰三角形的“三线合一”）
可分解成下面三个方面来理解：
三.典例与练习
例1.（2019·成都中考）如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，求CE的长．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9，故答案为：9．
练习2.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ B ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
例2.如图5已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.猜想：AE⊥BC，BD＝CD.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE为∠BAC的平分线.∴AE⊥BC，BD=CD.
练习3.如图6，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF（SSS）.∴∠D=∠B.
（2）∵△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB,
∴∠AEO=∠CFO.
∵在△AOE与△COF中, ∠AEO=∠CFO,
∴AE∥CF.
例3.如图7，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为( C )
A．15° B．20° C．25° D．40°
练习4.如图8，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,∠BAC=100°.求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=0.5∠BAC=50°.
又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.
在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C=40°
四.课堂小结
1.等腰三角形的性质：等边对等角.
2.等腰三角形性质的推论：三线合一.
3.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
五.分层过关
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ B ）
A.30°，60° B.45°，45° C.45°，90° D.20°，70°
2.如图9，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ A ）
A.18° B.24° C.30° D.36°
3.如图10,若△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为( B )
A.40° B.35° C.30° D.25°
4.如图11，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC=12，则高AD=_8__．
5.如图12，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为_72°_.
6.如图13，点B、D、E、C在同一条直线上，且AB=AC、AD=AE
求证：BD=CE
解:
在和中，
，即
．
7.如图14,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,
连接BE.∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°,AC=BC,DC=EC.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.
图1
图2
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
（已知）如图3
∴BD＝DC，∠1＝∠2
（等腰三角形三线合一）
（2）∵AB＝AC，BD＝DC
（已知）如图3
∴AD⊥BC，∠1＝∠2
（等腰三角形三线合一）
（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）如图3
∴BD＝DC，AD⊥BC
（等腰三角形三线合一）
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图12
图11
图13
图14
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(总课时01)§1.1等腰三角形（1）
一.选择题：
1.如图1，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD是（B）
A. AD=AE B. ∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC
2.如图2，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( A )
A．5 B．4 C．3 D．2
3.如图3,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,垂足为点E,若∠BAD=15°,则∠CBE的度数为(A)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( D )
A． 30° B． 40° C． 45° D． 36°
5.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ D ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
二.填空题：
6.已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为20°．
7.如图5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=110°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,则∠AED的度数是107.5
8.如图6，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为37度．
9.如图7，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是35°.
10.如图8，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝6cm.
三.解答题：
11.如图9，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.
若∠C＋∠BAC＝145°，求∠EDC的度数.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＋∠C＋∠BAC＝2∠C＋∠BAC＝180°.
又∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠AED＝45°.
∴∠EDC＝∠AED－∠C＝10°.
12.如图10在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，求证：∠1=∠2．
证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠C，
∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠1=∠2．
13.如图11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．
证明：∵EF⊥AC ∴∠FEC = 90°= ∠ACB∴∠F +∠FCE = 90°
∵CD⊥AB∴∠ADC = 90° ∴∠A +∠FCE = 90°∴∠F = ∠A
在△FEC和△ACB中
∴ △FEC ≌ △ACB (AAS) ∴ FC = AB
14.如图12，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.
求证：(1）BE=CD，(2）AF平分∠BAC
图4
图3
图2
图1
图5
图7
图9
图8
图6
图10
图11
图12
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一.选择题：
1.如图1，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD是（ ）
A. AD=AE B. ∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC
2.如图2，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3.如图3,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,垂足为点E,若∠BAD=15°,则∠CBE的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( )
A． 30° B． 40° C． 45° D． 36°
5.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
二.填空题：
6.已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为_____．
7.如图5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=110°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,则∠AED的度数是________
8.如图6，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为____度．
9.如图7，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是____.
10.如图8，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝___cm.
三.解答题：
11.如图9，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.
若∠C＋∠BAC＝145°，求∠EDC的度数.
12.如图10在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，求证：∠1=∠2．
13.如图11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．
14.如图12，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.
求证：(1）BE=CD，(2）AF平分∠BAC
图4
图3
图2
图1
图5
图7
图9
图8
图6
图10
图11
图12
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