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(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
【学习目标】理解等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.
【学习重难点】能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
【导学过程】
一.知识回顾
等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角____，简称“____________”.
②等腰三角形的________，________和____________互相重合，简称“________”
二.探究新知
探究1.等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
（1）证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图1,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(________）.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1____∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝____,BC=____,∠1＝____,∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD＝CE(________________________）.
议一议：如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，由此,你能得到BD=CE的结论吗
（2）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
议一议：如果AD=AC，AE=AB，由此,你能得到BD=CE的结论吗
（3）证明：等腰三角形两腰上的高线相等．
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的高线，
求证：BD＝CE.
归纳：在△ABC中，AB=AC，
①如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么有BD=CE成立(n≥1).
②如果AD=AC，AE=AB，那么有BD=CE成立(n≥1).
探究2.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
已知：如图4,在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
三.典例与练习
例1.如图5，已知：在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数.
练习1.等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例2.如图6，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
练习2.如图7,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
例3.如图8，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AH⊥HG，BG⊥HG，HG=12，AH=4，求BG．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC____CA，∠BCG+∠ACH=____°，∵AH⊥HG，BG⊥HG，
∴∠G=∠H=____°，
∠BCG+∠CBG=____°，∴∠CBG____∠ACH，
在和△CAH中，，∴△BCG≌____(AAS），
∴CG____AH，BG____CH，
∵HG=12，AH=4，∴BG=____=HG-____=HG-____=________，
练习3.在Rt中，若∠C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∠ADB=____°
四.课堂小结
等边三角形的性质：1.三条边相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
五.分层过关
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A. BC边上的高和中线互相重合; B. AB和AC边上的中线相等
C. 三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等; D. AB，BC边上的高相等
3.如图9，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
4.如图10,已知直线l1∥l2,将一等边三角形如图放置,若α=40°,则β= .
5.如图11，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，AD＝____．
6.如图12，四边形ABCD正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为____
7.如图13，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
8.如图14，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上，求证：BD＋CD＝AD.
图1
图2
图3
A
B
C
图4
图5
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(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
一.选择题：
1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为( )
A．50° B．80° C．100° D．130°
2.已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是( )
A．BD＝CE B．OB＝OC C．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE
3.如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，给出下列条件，不能使BD＝CE的是( )
A．BD和CE分别为AC和AB边上的中线；B．BD和CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线
C．BD和CE分别为AC和AB边上的高；D．∠ABD＝∠BCE
4.如图3，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于
A．15° B．30° C．45° D．60°
5.如图4，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①③④
二.填空题：
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是___________．
7.如图5，等边△ABC中，C边上的高AD=8，点是高AD上的一个动点，点是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是___．
8.AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为 ___ ．
9.在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B=____
10如图6，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①BD＝CE；②OE＝OD；③∠ABD＝∠ACE；④AE＝AD；⑤∠BOC＝90°＋∠A.上述结论正确的是_________．(填序号)
三.解答题：
11.如图,在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求证：无论点D在BC上如何运动（端点B除外），∠AEO均为定值.
12.如图8，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP.
(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．
13.如图9.1，已知点P是线段AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD.连接AD，BC，
相交于点Q，AD交CP于点E，BC交PD于点F.
(1)图9.1中有______对全等三角形；(不必证明)
(2)图9.1中设∠AQC＝α，那么α＝________°；(不必证明)
(3)如图9.2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？请说明理由．
图5
图4
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(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
【学习目标】理解等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.
【学习重难点】能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
【导学过程】
一.知识回顾
等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”.
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”
二.探究新知
探究1.等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
（1）证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图1,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝∠ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
议一议：如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，由此,你能得到BD=CE的结论吗
（2）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
议一议：如果AD=AC，AE=AB，由此,你能得到BD=CE的结论吗
（3）证明：等腰三角形两腰上的高线相等．
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的高线，
求证：BD＝CE.
归纳：在△ABC中，AB=AC，①如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么有BD=CE成立(n≥1).
②如果AD=AC，AE=AB，那么有BD=CE成立(n≥1).
探究2.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
已知：如图4,在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
三.典例与练习
例1.如图5，已知：在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数.
解：∵△ABC是等边三角形,BF是△ABC的高,AE=AC,
∴∠ABO=∠ABC=30°,AB=AC=AE,
又AO平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO,根据SAS可证△AOE≌△AOB,
∴∠E=∠ABO=30°.
练习1.等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（ C ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例2.如图6，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各个内角的度数都是60°.
练习2.如图7,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CB,BE=BD.
在△ABE与△CBD中,
AB=CB,
∠ABE=∠CBD,∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.
BE=BD
例3.如图8，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AH⊥HG，BG⊥HG，HG=12，AH=4，求BG．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=CA，∠BCG+∠ACH=90°，∵AH⊥HG，BG⊥HG，∴∠G=∠H=90°，
∠BCG+∠CBG=90°，∴∠CBG=∠ACH，
在△BCG和△CAH中，，∴△BCG≌△CAH(AAS），∴CG=AH，BG=CH，
∵HG=12，AH=4，∴BG=CH=HG-CG=HG-AH=12-4=8，
练习3.在Rt中，若∠C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∠ADB=120°
四.课堂小结
等边三角形的性质：1.三条边相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
五.分层过关
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（D）A．30° B．40° C．50° D．60°
2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( D )
A. BC边上的高和中线互相重合; B. AB和AC边上的中线相等
C. 三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等; D. AB，BC边上的高相等
3.如图9，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（D）
A．30° B．20° C．25° D．15°
4.如图10,已知直线l1∥l2,将一等边三角形如图放置,若α=40°,则β=20.
5.如图11，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，AD＝2．
6.如图12，四边形ABCD正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为75°
7.如图13，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
在△ABE和△CAD中，AB=CA， ∠BAC=∠C，AE =CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠EBA=60°，∵∠BFD=∠ABE+∠BAD=60°．
8.如图14，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上，求证：BD＋CD＝AD.
证明：因为△ABC,△BDE均为等边三角形,所以BE=BD=DE,AB=BC,∠ABC=∠EBD=60°.
所以∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC.所以∠ABE=∠DBC.
在△ABE和△CBD中,所以△ABE≌△CBD(SAS).所以AE=CD.
又因为AD=AE+ED,ED=BD,所以BD+CD=AD.
图1
图2
图3
A
B
C
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图14
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(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
一.选择题：
1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为( B )
A．50° B．80° C．100° D．130°
2.已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是(C)
A．BD＝CE B．OB＝OC C．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE
3.如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，给出下列条件，不能使BD＝CE的是(D)
A．BD和CE分别为AC和AB边上的中线；B．BD和CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线
C．BD和CE分别为AC和AB边上的高；D．∠ABD＝∠BCE
4.如图3，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于A
A．15° B．30° C．45° D．60°
5.如图4，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( D)
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①③④
二.填空题：
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°．
7.如图5，等边△ABC中，C边上的高AD=8，点是高AD上的一个动点，点是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是8．
8.AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为 相等 ．
9.在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B=_400
10如图6，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①BD＝CE；②OE＝OD；③∠ABD＝∠ACE；④AE＝AD；⑤∠BOC＝90°＋∠A.上述结论正确的是①②③④⑤．(填序号)
三.解答题：
11.如图,在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求证：无论点D在BC上如何运动（端点B除外），∠AEO均为定值.
解：∵△ABC是等边三角形,BF是△ABC的高,AE=AC,
∴∠ABO=0.5∠ABC=30°,AB=AC=AE,
又AO平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO,
根据SAS可证△AOE≌△AOB,∴∠E=∠ABO=30°.
故无论点D在BC上如何运动（端点B除外），∠AEO均为30°
12.如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP.
(1)若∠APD＝80°，求∠DPC的度数；
(2)若∠APD＝α，求∠BAP(用含α的式子表示)．
解：（1）在△APD中，AP=AD，∴∠APD=∠ADP=80°∴∠PAD=180°-80°-80°=20°
∴∠BAP=60°-20°=40°∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°．
（2）∵在△APD中，AP=AD，∴∠APD=∠ADP=α°∴∠PAD=180°-α°-α°=180°-2α°
∴∠BAP=60°-（180°-2α°）=（2α-120）°.
13.如图1，已知点P是线段AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD.连接AD，BC，
相交于点Q，AD交CP于点E，BC交PD于点F.
(1)图1中有______对全等三角形；(不必证明)
(2)图1中设∠AQC＝α，那么α＝________°；(不必证明)
(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？请说明理由．
解：(1)△APD≌△CPB，△EPD≌△FPB，△APE≌△CPF，一共有3对；(2)60°
(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.
理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，
∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，
∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，在△APD和△CPB中，
∴△APD≌△CPB(SAS)，∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，
∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴α＝∠AQC＝180°－120°＝60°
图5
图4
图1
图3
图2
图6
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