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(总课时03)§1.1等腰三角形（3）
一.选择题：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2.在△ABC中,能判定△ABC为等腰三角形的是( C )
A.∠A=50°,∠B=60° B.∠A=40°,∠B=60° C.∠A+0.5∠B=90° D.∠A+∠B=90°
3.如图1，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图2，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（D）
A.30° B.120°[ C.30°或120° D.30°或75°或120°
5.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设(D)
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一个锐角都大于45°
二.填空题：
6.如图3，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝3.
7.如图4，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm.
8.如图5，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是等腰三角形．
9.在△ABC中，若∠A=46°,∠B=67°，则△ABC是一个等腰三角形.
10.平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是5.（两圆一线）
三.解答题：
11.用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
已知：△ABC，AB＝AC.
求证：∠B，∠C都是锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180°，
从而∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾；
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180°，
从而∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾．
综上所述，假设①，②不成立，所以∠B，∠C只能为锐角，故等腰三角形的两底角必为锐角．
12.如图6，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形
13.如图7，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E(0,)．（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，∴∠OBC＝∠ABD.
在△OBC和△ABD中，∴△OBC≌△ABD(SAS)．
(2)∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°.
又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC＝120°,
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰．
∵在Rt△AOE中，OA＝1，OE＝，∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，∴OC＝1＋2＝3，
∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
图1
图5
图4
图3
图2
图6
图7
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(总课时03)§1.1等腰三角形（3）
【学习目标】理解掌握等腰三角形的判定；运用等腰三角形的判定进行证明和计算。
【学习重难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形的定义：__________________________________________.（既是性质又是判定）
2.等腰三角形的性质有：
①等腰三角形是轴对称图形，
②等腰三角形的两个底角____（简写成“________”） 。
③等腰三角形顶角的______、____________、____________（也称为“______”）.
④等腰三角形的两底角平分线____，两腰上的高线(或中线)____。
二.探究新知
探究一：前面，我们已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能证明你的结论吗？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
简述为：等角对等边
已知：如图1,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD，则∠1=∠2,
在△BAD和△CAD中
几何语言：在ΔABC中（如图1）
∵∠B=∠C（已知）
∴AB=AC（等角对等边）
练习1.如图2中的两个图形是否是等腰三角形？
探究二：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
我们来看一位同学的想法：
如图3，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件
是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗
先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
练习2.证明△ABC中不可能有两个直角.
证明：假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=___°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=___°
“∠A+∠B=____°”与“∠A+∠B+∠C=___°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
反证法的三步曲：①假设，②归谬，③结论
三.典例与练习
例1.如图4.已知：AB=DC，BD=CA，BD、CA相交于E点.
求证：△AED是等腰三角形
证明：∵AB＝___，BD＝____，AD＝____，∴△ABD≌____(SSS).
∴∠ADB＝____(全等三角形的对应角相等).∴AE＝DE(________).∴△AED是等腰三角形.
练习3.如图5，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
例2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
练习4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
证明：如图6，假设：∠A___60°,∠B___60°,∠C___60°,
则∠A+∠B+∠C___180°.这与________________________相矛盾.
所以___不成立，所求证的结论成立.
四.课堂小结
1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．
2.利用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
五.分层过关
1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80°C.∠A＝2∠B＝80° D.AB＝3，BC＝6，周长为13
2.如图7，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.在如图8的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形,则这样的点C有( )
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
4.等腰三角形的判定方法：(1)有______相等的三角形是等腰三角形；
(2)有______相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
5.△ABC中，∠A=30°，当∠B=_____________________时，△ABC是等腰三角形．
6.如图9，已知在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
7.如图10，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD∥FG；(2)△AEF为等腰三角形．
A
B
C
图1
D
1
2
∠B=___
∠1=___
AD=___ （公共边）
∴△BAD≌______（AAS）
∴AB=AC（_____________________）
750
300
400
400
图2
图3
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图8
图7
图9
图10
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(总课时03)§1.1等腰三角形（3）
【学习目标】理解掌握等腰三角形的判定；运用等腰三角形的判定进行证明和计算。
【学习重难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.（既是性质又是判定）
2.等腰三角形的性质有：
①等腰三角形是轴对称图形，
②等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称为“三线合一”）.
④等腰三角形的两底角平分线相等，两腰上的高线(或中线)相等。
二.探究新知
探究一：前面，我们已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能证明你的结论吗？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
简述为：等角对等边
已知：如图1,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD，则∠1=∠2,
在△BAD和△CAD中
几何语言：在ΔABC中（如图1）
∵∠B=∠C（已知）
∴AB=AC（等角对等边）
练习1.如图2中的两个图形是否是等腰三角形？
探究二：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
我们来看一位同学的想法：
如图3，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件
是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗
先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
练习2.证明△ABC中不可能有两个直角.
证明：假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
反证法的三步曲：①假设，②归谬，③结论
三.典例与练习
例1.如图4.已知：AB=DC，BD=CA，BD、CA相交于E点.
求证：△AED是等腰三角形
证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE＝DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.
练习3.如图5，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：△BDE为等腰三角形．
理由如下：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.
因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.
故△BDE为等腰三角形．
例2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
练习4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
证明：如图6，假设：∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°,
则∠A+∠B+∠C＞180°.这与三角形内角和等于180°相矛盾.
所以假设不成立，所求证的结论成立.
四.课堂小结
1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．
2.利用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
五.分层过关
1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( B )
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80°C.∠A＝2∠B＝80° D.AB＝3，BC＝6，周长为13
2.如图7，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.在如图8的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形,则这样的点C有( A )
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
4.等腰三角形的判定方法：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
5.△ABC中，∠A=30°，当∠B=75°或30°或120°时，△ABC是等腰三角形．
6.如图9，已知在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，即∠DBC＋∠DCB＝∠ECB＋∠CBE＝90°.
∴∠DBC＝∠ECB.∴OB＝OC.
（2）∵∠CEB＝90°，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°－90°－50°＝40°.
∴∠DBC＝40°.∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°.
7.如图10，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)AD∥FG；(2)△AEF为等腰三角形．
解：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC，∴AD∥FG.
(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE，即△AEF为等腰三角形．
A
B
C
图1
D
1
2
∠B=∠C
∠1=∠2
AD=AD （公共边）
∴△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
750
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图2
图3
图4
图5
解：
图6
图6
图6
图6
这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于
图8
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图9
图10
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(总课时03)§1.1等腰三角形（3）
一.选择题：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2.在△ABC中,能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=50°,∠B=60° B.∠A=40°,∠B=60° C.∠A+0.5∠B=90° D.∠A+∠B=90°
3.如图1，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图2，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A.30° B.120°[ C.30°或120° D.30°或75°或120°
5.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设( )
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一个锐角都大于45°
二.填空题：
6.如图3，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝___.
7.如图4，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是___cm.
8.如图5，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_____ 三角形．
9.在△ABC中，若∠A=46°,∠B=67°，则△ABC是一个______ 三角形.
10.平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是___.（两圆一线）
三.解答题：
11.用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
已知：△ABC，AB＝AC.
求证：∠B，∠C都是锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，则____________，
从而__________________＞180°，这与_____________________矛盾；
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则__________________，
从而__________________，这与__________________矛盾．
综上所述，假设①，②______，所以∠B，∠C只能为______，故等腰三角形的两底角必为锐角．
12.如图6，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形．
13.如图7，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E（0，）．（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
图1
图5
图4
图3
图2
图6
图7
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