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(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
【学习目标】理解等边三角形的判定定理和直角三角形的特殊性质的内容，并能应用；
【学习重难点】等边三角形性质和判定的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.等边三角形有哪些性质？
(1)等边三角形的三边都____；
(2)等边三角形的三个内角都____，并且每个角都等于____°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有____条对称轴，分别为____________________；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线____，且长度____．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,则这个三角形是____三角形，这一定理可简称为____________.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝____，∠BAM＝____.
二.探究新知
探究一：等边三角形的判定.
除了通过等边三角形的定义外，还有其他方法来判断一个三角形是否为等边三角形？
思考：（1）一个三角形的三个角满足什么条件时，这个三角形是等边三角形？
猜想1：____________的三角形是等边三角形.
验证：如图1画一个三角形，使每一个角都等60°，用刻度尺量一量，三边是否相等.
已知：在△ABC中，____________
求证：△ABC是________.
证明：∵____________∴AB=AC=BC(____________________)
∴△ABC是等边三角形
判定定理1:____________的三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵____________∴△ABC为等边三角形
思考：（2）一个等腰三角形的某个角度满足什么条件时，这个等腰三角形是等边三角形？
猜想2：____________的等腰三角形是等边三角形。
验证：如图2,将圆规的两只脚张开到60°，放在纸面上，量一量两只脚尖间的距离是否等于两脚的长.
已知：在△ABC中，AB＝AC，________
求证：△ABC是________.
证明：∵AB＝AC，________，∴____=____=60°
∴△ABC是________.（________）
判定定理2:____________的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵____________，∴△ABC为等边三角形.
探究二：含有30 角的直角三角形性质及其证明
将两个含有30°的三角尺如图3摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC
的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗
发现：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边____________.
已知：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB
证明：如图4，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=∠ACD=____°，AC=AC∴△ABC≌________(____)
∴AB=____(全等三角形的对应边相等)∵∠B=60°∴△ABD是________.
（_______________),∴BC=____BD=____AB
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边________.
符号语言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵________，∴________
推论：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°则有BC:AC:AB=________.
三.典例与练习
例1.如图5,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点，作DE∥BC，交AC于E点
解：（1）____，理由________________________________________。
（2）____，____________________________________________________。
（3）____，_______________________________________________________。
练习1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为____cm.
例2.如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=____=____∴∠ADC=____.
∵∠C=90°,∴∠DAC=____.在Rt△ADC中,∠DAC=____∴CD=____AD
(________________________________________________________________________).
∵BD=AD=12,∴CD=____.
练习2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD＝0.5AB
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝____＝____(________).
∴∠DAC＝____＝____.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝____AC
(________________________________________________________________________).
∴CD=____AB.
四.课堂小结
1.判断等边三角形的三种方法：
①定义：________都相等的三角形是等边三角形.
②判定定理1：________都相等的三角形是等边三角形.
③判定定理2.有一个角等于60°的____三角形是等边三角形.
2.特殊直角三角形的性质：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边____________.
五.分层过关
1.在△ABC中，BC=AC，若________（只填一种情况），则△ABC是等边三角形。
2.如图8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( )
A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
3.如图9已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( )
A．3 B．4 C．8 D．9
4.如图10，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BE=____cm，
∠BDE=____.
5.如图11，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，
∠ABE=60°．（1）则∠ADB=____；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
图1
图2
图3
图4
E
D
图5
图6
图7
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图8
图10
图11
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(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
一.选择题：
1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定
2.关于等边三角形的说法:
(1)等边三角形有三条对称轴;(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
(3)有两个角等于60°的三角形是等边三角形;(4)等边三角形两边上中线相等.
其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图1,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
4.如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
5.如图3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上
二.填空题：
6.如图4，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为___．
7.如图5，在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=60°，AC=10，则BC=____ ．
8．如图6，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分线AD=6， 那么∠B=___°．
9.如图7，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且A、B、E三点共线，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠AEC=___．
10.如图8，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝___．
三.解答题：
11.如图9，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．
12.已知：如图10，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合．连接AD、BE，AD、BE交于点F．
（1）写出在运动过程中始终全等的三角形，并选择其中一组证明；
（2）运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．
（3）直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系．
图4
图3
图1
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图8
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图9
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(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
一.选择题：
1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则△ABC是(B)
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定
2.关于等边三角形的说法:
(1)等边三角形有三条对称轴;(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
(3)有两个角等于60°的三角形是等边三角形;(4)等边三角形两边上中线相等.
其中正确的说法有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图1,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( B )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
4.如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
5.如图3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ D）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上
二.填空题：
6.如图4，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为4．
7.如图5，在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=60°，AC=10，则BC=____ ．
8．如图6，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分线AD=6， 那么∠B=30°．
9.如图7，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且A、B、E三点共线，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠AEC=21°．
10.如图8，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝30°．
三.解答题：
11.如图9，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．
解：△BPQ是等边三角形，
当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP．
又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．
12.已知：如图10，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合．连接AD、BE，AD、BE交于点F．
（1）写出在运动过程中始终全等的三角形，并选择其中一组证明；
（2）运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．
（3）直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系．
解（1）△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，
∵BD=CE，∴CD=AE，
在△ACD和BAE中，
，∴△ACD≌BAE（SAS）；
（2）∠BFD的度数不变；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，
∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°，
∵∠BFD+∠AFB=180°，∴∠BFD=60°∴∠BFD的度数不变；
（3）∵AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，∴AE+BD=AE+CE=AC=AB，∴AE+BD=AB．
图4
图3
图1
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图10
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(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
【学习目标】理解等边三角形的判定定理和直角三角形的特殊性质的内容，并能应用；
【学习重难点】等边三角形性质和判定的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.等边三角形有哪些性质？
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,则这个三角形是等腰三角形，这一定理可简称为等角对等边.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝90°，∠BAM＝20°.
二.探究新知
探究一：等边三角形的判定.
除了通过等边三角形的定义外，还有其他方法来判断一个三角形是否为等边三角形？
思考：（1）一个三角形的三个角满足什么条件时，这个三角形是等边三角形？
猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
验证：如图1画一个三角形，使每一个角都等60°，用刻度尺量一量，三边是否相等.
已知：在△ABC中，∠B=∠C=∠A，
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一个三角形中等角对等边)
∴△ABC是等边三角形
判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC为等边三角形
思考：（2）一个等腰三角形的某个角度满足什么条件时，这个等腰三角形是等边三角形？
猜想2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
验证：如图2,将圆规的两只脚张开到60°，放在纸面上，量一量两只脚尖间的距离是否等于两脚的长.
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A=60°
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵AB＝AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形.（判定定理1）
判定定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A=60°，∴△ABC为等边三角形.
探究二：含有30 角的直角三角形性质及其证明
将两个含有30°的三角尺如图3摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC
的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗
发现：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
已知：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB
证明：如图4，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=∠ACD=90°，AC=AC∴△ABC≌△ADC(SAS)
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形),∴BC=BD=AB
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
符号语言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵∠A=30°，∴BC=AB
推论：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°则有BC:AC:AB=1：：2.
三.典例与练习
例1.如图5,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点，作DE∥BC，交AC于E点
解：（1）是，理由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
（2）是，由∠ADE=60°可得，三角形的三个角均为60°，是等边三角形。
（3）是，由DE∥BC知三角形ADE的三个角均为60°，是等边三角形。
练习1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为9cm.
例2.如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=∠BAD=30°∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,∠DAC=30°∴CD=0.5AD
(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵BD=AD=12,∴CD=6.
练习2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD＝0.5AB
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝0.5AC
(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD=0.5AB.
四.课堂小结
1.判断等边三角形的三种方法：
①定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
③判定定理2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
2.特殊直角三角形的性质：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
五.分层过关
1.在△ABC中，BC=AC，若∠A=60°（只填一种情况），则△ABC是等边三角形。
2.如图8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )
A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
3.如图9已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( C )
A．3 B．4 C．8 D．9
4.如图10，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BE=2 cm，
∠BDE=30°.
5.如图11，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．（1）则∠ADB=150°；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
解（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
EMBED Equation.DSMT4 ，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，∴EC=DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．
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