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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
【学习目标】掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法，了解原命题及其逆命题的概念.
【学习重难点】会判定一个三角形是直角三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直角三角形的性质:
(1)两个锐角____;(2)勾股定理：________________________________;
(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的____.
2.直角三角形的判定:
(1)有一个角是____的三角形叫做直角三角形.
(2)有两个角____的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的_______等于第三边的____,那么这个三角形是直角三角形.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的____，那么这个三角形是直角三角形.
二.探究新知
探究1：直角三角形的性质和判定
（1）直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜（________________）∠C=90゜（已知）
∴∠A+∠B+____=180゜∴∠A+∠B=180゜－____=____即∠A+∠B=____
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图1，在△ABC中，∠A＋∠B＝90 ゜
求证：△ABC是直角三角形（同学们自已试一下证明过程．）
探究2：勾股定理及其逆定理.
勾股定理（性质）：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（证明方法16种：http://www.360doc.com/content/19/0725/18/22706558_850986406.shtml）
(4)勾股定理的逆定理（判定）：
已知：如图2：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：如图3，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90 ,A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(________).∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(____)
∴∠A=∠A′=90 (________________________).∴△ABC是直角三角形
探究3：互逆命题和互逆定理.
观察上面命题（1）与（2）、（3）与（4），它们的条件和结论之间有怎样的关系
定理的条件和结论________位置.
再观察下面三组命题:
1.如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
3.三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
思考：上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
三.典例与练习
例1.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ，
求证：AB=AC
证明：如图4∵BC=10cm，AD是BC边上的中线∴BD=____=___cm
在△ABD中，∴AD +BD =________=________=____∴△ABD为____三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°∴AC=________________________∴AB=AC
练习1.填空：根据图示，写出未知边的边长.
（1）x=____ （2）AB=___ （3）y=___
例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形； 逆命题：________________.原命题（___），逆命题（___）．
(2)两直线平行，内旁内角互补；逆命题：________________________．原命题（___），逆命题（___）．
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题（___），逆命题（___）．
练习2.如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是____.
四.课堂小结
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理：直角三角形的两个锐角互余
五.分层过关
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
2.若△ABC的三边a、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3.如图6，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
4.如图7，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为_ _.
5.如图8，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是________.
6.一副直角三角板按如图9方式放置，点C在FD的延长线上， AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，AC＝5，则CD的长为_______.
7.如图10，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；
（3）求证：OA⊥AC．
图1
图2
图3
2.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
图4
图5
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆 定理
互逆 定理
图8
图9
图7
图6
图10
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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
一.选择题：
1.如图1，AB∥EF，∠1＝50°，∠F＝40°，则△ABC是( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 一般三角形
2.符合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为( )
①a＝，b＝，c＝；②a＝6，∠A＝45°； ③∠A＝32°，∠B＝58°； ④a＝7，b＝24，c＝25.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.如图2,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
4.下列说法正确的是（ ）
A. 每个命题都有逆命题 B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题都是真命题 D. 假命题的逆命题都是假命题
5.如图3，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是( )
A. OA＝OB B. E是AC的中点 C. △AOE≌△BOD D. AE＝BD
二.填空题：
6.如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A、C作a的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_____.
7.如图5，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有____________（填写所有正确的序号）．
8.如图6，在一个高为6m，长为10m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是____．
9.如图7，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△PQA.
10.在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形____.
①一定全等 ②一定不全等 ③不一定全等 ④以上都不是
三.解答题：
11.如图8，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
12.如图9，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
13.如图10，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ，试判断△PQC的形状，并说是理由.
图2
图3
图1
图4
图7
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图5
图8
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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
【学习目标】掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法，了解原命题及其逆命题的概念.
【学习重难点】会判定一个三角形是直角三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直角三角形的性质:
(1)两个锐角互余;(2)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方;
(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.直角三角形的判定:
(1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
二.探究新知
探究1：直角三角形的性质和判定
（1）直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜（三角形内角和定理）∠C=90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜即∠A+∠B=90゜
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图1，在△ABC中，∠A＋∠B＝90 ゜
求证：△ABC是直角三角形（同学们自已试一下证明过程．）
探究2：勾股定理及其逆定理.
勾股定理（性质）：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（证明方法16种：http://www.360doc.com/content/19/0725/18/22706558_850986406.shtml）
(4)勾股定理的逆定理（判定）：
已知：如图2：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：如图3，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90 ,A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠A=∠A′=90 (全等三角形的对应角相等).∴△ABC是直角三角形
探究3：互逆命题和互逆定理.
观察上面命题（1）与（2）、（3）与（4），它们的条件和结论之间有怎样的关系
定理的条件和结论互换了位置.
再观察下面三组命题:
1.如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
3.三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
思考：上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
三.典例与练习
例1.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ，
求证：AB=AC
证明：如图4∵BC=10cm，AD是BC边上的中线∴BD=CD=5cm
在△ABD中，∴AD +BD =144+25=169=13 =AB ∴△ABD为直角三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°∴AC=∴AB=AC
练习1.填空：根据图示，写出未知边的边长.
（1）x=5 （2）AB=___ （3）y=___
例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形； 逆命题：四边形是多边形.原命题（真），逆命题（假）．
(2)两直线平行，内旁内角互补；逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题（真），逆命题（真）．
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题（假），逆命题（真）．
练习2.如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是45°.
四.课堂小结
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理：直角三角形的两个锐角互余
五.分层过关
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ A ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
2.若△ABC的三边a、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC为 C
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3.如图6，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)
A．48 B．60 C．76 D．80
4.如图7，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为_3_.
5.如图8，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是____.
6.一副直角三角板按如图9方式放置，点C在FD的延长线上， AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，AC＝5，则CD的长为____.
7.如图10，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；
（3）求证：OA⊥AC．
解：（1）过点A作AD⊥OC于点D，
∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OD=DB=1，AB=AO=OB=2，∴AD=，∴A(1,)
（2）将A点代入直线得：，解得：，故，
（3）证明：当时，即：，解得，即；
，，，
，，，．
图1
图2
图3
2.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
图4
图5
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆 定理
互逆 定理
图8
图9
图7
图6
图10
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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
一.选择题：
1.如图1，AB∥EF，∠1＝50°，∠F＝40°，则△ABC是( C )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 一般三角形
2.符合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为( A )
①a＝，b＝，c＝；②a＝6，∠A＝45°； ③∠A＝32°，∠B＝58°； ④a＝7，b＝24，c＝25.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.如图2,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( C )
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
4.下列说法正确的是（ A ）
A. 每个命题都有逆命题 B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题都是真命题 D. 假命题的逆命题都是假命题
5.如图3，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是( B )
A. OA＝OB B. E是AC的中点 C. △AOE≌△BOD D. AE＝BD
二.填空题：
6.如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A、C作a的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_____.
7.如图5，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有(1)、(2)、(3)（填写所有正确的序号）．
8.如图6，在一个高为6m，长为10m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是14m．
9.如图7，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝5或10时，才能使△ABC≌△PQA.
10.在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形③
①一定全等 ②一定不全等 ③不一定全等 ④以上都不是
三.解答题：
11.如图8，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．
12.如图9，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
13.如图10，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ，试判断△PQC的形状，并说是理由.
解(1)猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC.
又AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；
(2)由PA:PB:PC=3:4:5,可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形.
∴PQ=4a.于是在△PQC中
∵PQ+QC=16a+9a=25a=PC
∴△PQC是直角三角形.
图2
图3
图1
图4
图7
图6
图5
图8
图9
图10
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