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(总课时06)§1.2直角三角形（2）
一.选择题：
1.如图1，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（A）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2.下列可使两个直角三角形全等的条件是（B）
A.一条边对应相等 B.两条直角边对应相等 C.一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
3.如图2在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（C） A． B． C． D．
4.如图3，AB=AC，AC≠BC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，AH、BD、CE交于点O，图中全等直角三角形的对数（ D）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图4，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是(A)
A．AB=DC B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AE=BF
二.填空题：
6.如图5，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为12cm．
7.如图6，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DEEC，则AB＝_7_．
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：AB=BC（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．
9.如图8，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝5或10时，才能使△ABC≌△PQA.
三.解答题：
10.如图8，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
11.如图9，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．
解：CE=DF．理由：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴AC=BD，∠CAB=∠DBA．
在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS），∴CE=DF．
12.如图10，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
解（1）证明：如图10中，∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
（3）解：如图10(1)中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，∴△DBN≌△DCM，∴∠BDN=∠CDM，∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，∴∠CDB=120°，∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
图4
图3
图2
图1
图7
图5
图6
图8
图8
图9
图10
图10(1)
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(总课时06)§1.2直角三角形（2）
【学习目标】理解并能运用判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【学习重难点】能够证明判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
①_______________的两个三角形全等（SSS）．
②_____________________的两个三角形全等（SAS）．
③________________________的两个三角形全等（ASA）．
④______________________________的两个三角形全等（AAS）．
2.一个重要反例：____________________________________的两个三角形不一定全等.
如图1，∠A=∠A，AB=AB，BC=BC1，显然△ABC与△ABC1不全等.
3.在两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等（边边角），那么这两个三角形全等吗？
二.探究新知
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图2，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
作法：（1）作∠MCN＝∠α=90°；（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
你作的直角三角形与小明作的全等吗？
已知：如图3，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C＝90°，∴BC2=______（勾股定理）．
同理，B′C′2=____________（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC___B'C'．∴△ABC≌△A′B′C' (SSS)．
定理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
三.典例与练习
例1.如图4，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平
方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC___Rt△DEF（___）。
∴∠B＝______∵______+∠F＝90°，∴___+∠F＝90°．
练习1.如图5，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地
面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
例2.如图6，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
练习2.如图7，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
例3.已知：如图8，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
练习3.两个直角三角形中,如果都有一个锐角等于38°,又都有一条边等于3.8cm,那么这两个直角三角形______全等.(填“一定”或“不一定”)
四.课堂小结
1.我掌握的定理：____________________________________________________________；
2.我探索的发现：____________________________________________________________；
3.我学会的方法：____________________；
4.我还懂得了：_______________________________．
五.分层过关
1.不能判断两个直角三角形全等的条件是( )
A．两锐角对应相等的两个直角三角形 B．一锐角及其所对的边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
2.如图9,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.AC=AD且BC=BD D.以上都不正确
3.如图10,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=____cm.
4.如图11，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△PQA.
5.如图12，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
6.如图13，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.
(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.
(2)求证：CF＝EF.
图1
图2
（1）
（2）
（3）
（4）
图3
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图11
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(总课时06)§1.2直角三角形（2）
【学习目标】理解并能运用判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【学习重难点】能够证明判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
①三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．
②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．
④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
2.一个重要反例：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图1，∠A=∠A，AB=AB，BC=BC1，显然△ABC与△ABC1不全等.
3.在两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等（边边角），那么这两个三角形全等吗？
二.探究新知
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图2，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
作法：（1）作∠MCN＝∠α=90°；（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
你作的直角三角形与小明作的全等吗？
已知：如图3，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C＝90°，∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）．
同理，B′C′2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B'C'．∴△ABC≌△A′B′C' (SSS)．
定理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
三.典例与练习
例1.如图4，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平
方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
∴∠B＝∠DEF∵∠DEF+∠F＝90°，∴∠B+∠F＝90°．
练习1.如图5，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地
面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
解：在△AOB和△AOC中，
∵AB=AC=12，AO=AO，∠AOB=∠AOC=90
∴△AOB≌△AOC (HL)∴BO=CO,即两个木桩离旗杆底部的距离相等.
例2.如图6，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A' (已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．
练习2.如图7，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( D )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
例3.已知：如图8，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
证明：（1）∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°
在△ABF和△CDE中∵AB=CD,DE=BF.∴△ABF≌△CDE,(HL)∴AF=CE.
∴AF-EF=CE-EF.即：AE=CF
（2）∵△ABF≌△CDE∴∠A=∠C，∴AB∥CD．
练习3.两个直角三角形中,如果都有一个锐角等于38°,又都有一条边等于3.8cm,那么这两个直角三角形不一定全等.(填“一定”或“不一定”)
四.课堂小结
1.我掌握的定理：直角三角形的判定方法：边边边、边角边、角边角、角角边、HL定理；
2.我探索的发现：两边及其一边所对的角（直角）相等，这两个三角形全等；
3.我学会的方法：推理证明问题的方法；
4.我还懂得了：_______________________________．
五.分层过关
1.不能判断两个直角三角形全等的条件是( A )
A．两锐角对应相等的两个直角三角形 B．一锐角及其所对的边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
2.如图9,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( B )
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.AC=AD且BC=BD D.以上都不正确
3.如图10,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=7cm.
4.如图11，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝5或10时，才能使△ABC≌△PQA.
5.如图12，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
证明∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠BAC.
6.如图13，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.
(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.
(2)求证：CF＝EF.
解.(1)图中有3对全等三角形有：
Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF.
证明.(2)连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).∴BC＝DE.
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，
∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.
图1
图2
（1）
（2）
（3）
（4）
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图11
图12
图10
图9
图13
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(总课时06)§1.2直角三角形（2）
一.选择题：
1.如图1，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2.下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.一条边对应相等 B.两条直角边对应相等 C.一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
3.如图2在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
4.如图3，AB=AC，AC≠BC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，AH、BD、CE交于点O，图中全等直角三角形的对数（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图4，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A．AB=DC B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AE=BF
二.填空题：
6.如图5，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为____cm．
7.如图6，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DEEC，则AB＝______．
8.如图7，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：____（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．
9.如图8，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△PQA．
三.解答题：
10.如图8，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
11.如图9，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．
12.如图10，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
图4
图3
图2
图1
图8
图7
图6
图5
图8
图9
图10
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