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(总课时07)§1.3线段的垂直平分线（1）
【学习目标】理解线段的垂直平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.
【学习重难点】线段垂直平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.
【导学过程】
一.情景导入，初步认知
如图1，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到
两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
“到两个仓库的距离相等”的点在线段AB的垂直平分线上．
我们曾经用折纸的方法说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
二.探究新知
探究1.线段垂直平分线性质
已知：如图2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直的定义）
在△PCA和△PCB中，
AC=BC， （已知）
PC=PC, （公共边）∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
∠PCA=∠PCB（已证）
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
符号语言:∵P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
练习1.如图3,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=7cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=600.
探究2.线段垂直平分线的判定
①你能写出上面这个性质定理的逆命题吗
原命题：如果有一点在线段的垂直平分线上，那么这点到线段两端距离相等.
逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
②它是真命题吗 如果是，请你加以证明.
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,（如图4）
∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
符号语言：∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
练习2.已知：如图5，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC．
证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
三.典例与练习
例1.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，
BC=8，求△AEC的周长.
解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线,∴AE=BE.
∴△AEC的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.
练习3.如图7，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC.求证：AD∥BC.
证明：∵CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC,∴∠CAB=∠B,
又∵∠CAB=∠DAB,∴∠DAB=∠B,∴AD∥BC.
例2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.
又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.
∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.
又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.
∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．
四.课堂小结
1.线段的垂直平分线可以看成是：到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
2.线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线。
五.分层过关
1.平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是(B)
A．(0，2) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，0)
2.如图9，AC＝AD，BC＝BD，则有( A )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
3.如图10，在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为：m+n．
4.如图11，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30 ．
5.如图12，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=0.5AC BD．正确的是①④（填写所有正确结论的序号）
6.如图13，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E.
求证：BD＝DC.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.
∵DE垂直平分AB，∴BD＝DA.∴∠BAD＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°.
又∵∠C＝30°，∴DA＝DC.∴BD＝DC.
7.如图14，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为AD=BD．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
解：（2）∵是AB的垂直平分线，是AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE=6，∴BC=BD+DE+CD=AD+DE+AE=6；
（3）∵是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线，∴OB=OA，OC=OA，
∵△OBC的周长为16，∴OB+OC+BC=16，∴OB+OC=16-BC=16-6=10，∴OA=OB=OC=5．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图12
图11
图10
图9
图13
图14
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(总课时07)§1.3线段的垂直平分线（1）
【学习目标】理解线段的垂直平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.
【学习重难点】线段垂直平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.
【导学过程】
一.情景导入，初步认知
如图1，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到
两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
“到两个仓库的距离相等”的点在线段AB的垂直平分线上．
我们曾经用折纸的方法说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
二.探究新知
探究1.线段垂直平分线性质
已知：如图2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=_____=90°（____________）
在△PCA和△PCB中，
AC=____， （已知）
PC=____, （公共边）∴△PCA≌________(____)．∴PA=____(________________________)．
∠PCA=____（已证）
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
符号语言:∵P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
练习1.如图3,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=7cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=____.
探究2.线段垂直平分线的判定
①你能写出上面这个性质定理的逆命题吗
原命题：如果________________________，那么_______________________.
逆命题：如果________________________________，那么____________________________．
②它是真命题吗 如果是，请你加以证明.
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,（如图4）
∵PA=____，PC=____，∴Rt△PAC≌________(____)．∴AC=____，即P点在AB的垂直平分线上．
符号语言：∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
练习2.已知：如图5，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC．
证明：∵________，∴点A在线段BC的垂直平分线上
（____________________________________________________________）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（________________）.
三.典例与练习
例1.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，
BC=8，求△AEC的周长.
解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线,∴AE=____.
∴△AEC的周长=AC+AE+CE=AC+____+CE=AC+____=____.
练习3.如图7，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC.求证：AD∥BC.
例2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
四.课堂小结
1.线段的垂直平分线可以看成是：到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
2.线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线。
五.分层过关
1.平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是( ) A．(0，2) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，0)
2.如图9，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
3.如图10，在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为：____．
4.如图11，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝____．
5.如图12，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=0.5AC BD．正确的是____（填写所有正确结论的序号）
6.如图13，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E.
求证：BD＝DC.
7.如图14，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为________．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
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图2
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图9
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(总课时07)§1.3线段的垂直平分线（1）
一.选择题：
1．如图1，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ ）
A．40° B．70° C．30° D．50°
2．如图2．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．已知：如图3，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（ ）A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二.填空题：
5．如图5，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为24cm，则△ABC的周长为___cm．
6．如图6，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D．若AC＝5，BC＝3，则△BCE的周长___．
7．如图7，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC=___．
8．已知：如图8，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A=____度．
9．如图9，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为_____．
三.解答题：
10．已知：如图10，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，
求：AB的长．
11．如图11，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．
（1）说明：△ABC为直角三角形．
（2）求AE的长．
12．如图12，在直角三角形△ABC中，∠B=90，AB=12cn,BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P,Q分别从A,B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动，
（1）t=___时，△PBQ为等腰三角形？
（2）t=______时，点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P,Q在运动的过程中，是否存在某时刻t，直线PQ把△ABC的周长分为1:2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
图2
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图3
图4
图9
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图10
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(总课时07)§1.3线段的垂直平分线（1）
一.选择题：
1．如图1，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ C ）
A．40° B．70° C．30° D．50°
2．如图2．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于(D)
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．已知：如图3，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（ C）A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（D）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二.填空题：
5．如图5，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为24cm，则△ABC的周长为34_cm．
6．如图6，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D．若AC＝5，BC＝3，则△BCE的周长8．
7．如图7，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC=8．
8．已知：如图8，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A=_36_度．
9．如图9，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为__．
三.解答题：
10．已知：如图10，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，
求：AB的长．
解∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，
∵若△BCD的周长为24cm，∴BD+DC+BC=24cm，
∴DA+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，
∵BC=8cm，∴AC=16cm，∵AB=AC，∴AB=16cm．
11．如图11，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．
（1）说明：△ABC为直角三角形．
（2）求AE的长．
解：（1）∵AD=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)如图，连接CE，设AE=x，则BE=4-x，
∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE=4-x,
在Rt△AEC中，；解得．∴．
12．如图12，在直角三角形△ABC中，∠B=90，AB=12cn,BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P,Q分别从A,B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动，
（1）t=2时，△PBQ为等腰三角形？
（2）t=0.875时，点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P,Q在运动的过程中，是否存在某时刻t，直线PQ把△ABC的周长分为1:2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
解:(3)在Rt△ABC中，
当直线PQ把△ABC的周长分为1:2两部分时，
①当AC+AP+CQ=2(BP+BQ）时，20+2t+16-4t=2(12-2t+4t),解得，t=2
②当2(AC+AP+CQ)=BP+BQ时，2(20+21+16-4t)=12-2t+4t,解得，t=10
当t=2或10时，直线PQ把△ABC的周长分为1:2两部分.
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