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(总课时08)§1.3线段的垂直平分线（2）
一.选择题：
1.点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )
A. 11 B. 16 C. 24 D. 64
2.有一块三角形草坪，要在草坪上建一座凉亭，使凉亭到三个顶点的距离相等，则凉亭的选址有( )
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
3.如图1，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（ ）
A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm
4.如图2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是（ ）．
A.19cm B.18cm C.17cm D.16cm
5.如图3，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为( )A．45° B．60° C．80° D．100°
二.填空题：
6.如图4，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_____度．
7.在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的________，且PA＝___＝____.
8.如图5，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD=___．
9.如图6，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为________．
三.解答题：
10.如图7，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
11.如图8.1，在平面直角坐标系中，A(0，8），B(4，0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a,1)为第一象限内的点．
（1）则点D坐标________；（2）S△DBC=S△DBM时，则a=____；
（3）如图8.2，点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求出点的坐标．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8.1
图8.2
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(总课时08)§1.3线段的垂直平分线（2）
一.选择题：
1.点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( C )
A. 11 B. 16 C. 24 D. 64
2.有一块三角形草坪，要在草坪上建一座凉亭，使凉亭到三个顶点的距离相等，则凉亭的选址有(A)
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
3.如图1，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（B）
A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm
4.如图2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是( A）．
A.19cm B.18cm C.17cm D.16cm
5.如图3，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，则∠ADC的度数为( B )A．45° B．60° C．80° D．100°
二.填空题：
6.如图4，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是115度．
7.在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC.
8.如图5，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD=35°．
9.如图6，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为(－2，－1)．
三.解答题：
10.如图7，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝0.5∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
11.如图8.1，在平面直角坐标系中，A(0，8），B(4，0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a,1)为第一象限内的点．
（1）则点D坐标（0，3）；（2）S△DBC=S△DBM时，则a=6；
（3）如图8.2，点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，
求出点的坐标．
解：（3）由勾股定理得，
∵点C为边AB的中点∴
∵AD=OA-OD=5∴
设E(0，x)，则
分三种情况：①EC=ED时， 过E作EQ⊥CD于Q，如图所示：则EQ∥AB
∴Q为CD的中点∴E为AD的中点∴AE=ED∴8-x=x-3解得：
②DC=DE时∴ ∴ 或 ∴ 或
③CE=CD时，过C作CF⊥AO交于F，如图所示：
∴∠AFC=∠AOB=90°F为ED中点∴FC//OB，EF=DF
∵C为AB的中点∴F为AO的中点，
∵A(0，8)，O(0，0)∴F(0，4)∴EF=DF=1∴x-4=1∴x=5
∴E(0，5)
综上所述：当△CDE为等腰三角形时，E点的坐标为或 或 或
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8.2
图8.1
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(总课时08)§1.3线段的垂直平分线（2）
【学习目标】理解三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.
【学习重难点】已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.线段垂直平分线性质定理：_____________________________________________.
2.线段垂直平分线判定定理：______________________________________________________.
3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=___，
∠AEC=_____，AC=_____.
二.探究新知
探究一:（1）剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线.
用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？
___________________________________.
（2）用尺规作出下列（图2）三角形三边的垂直平分线，你发现什么结论？
结论：__________________________________________________.
探究二:三角形三边垂直平分线的性质的证明
求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图3，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．
求证：边AC的垂直平分线经过点O，且OA=OB=OC.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(_____________________________________________)．
同理OB=OC．∴OA=OB=OC．
∴O点在AC的垂直平分线上(_______________________________________________________)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．
探究三:用尺规作图
1.已知直线L和点P,过点P用作直线L的垂线
结论：过直线外(上）一点作直线的垂线，有__________条.
2.已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
所作出的三角形都全等吗？
结论：这样的等腰三角形有_____个，这些三角形_____全等．
3.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：线段a、h[
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[
作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图4)．
结论：这样的等腰三角形有_____个.
三.典例与练习
例1.如图5，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点
练习1.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
例2.如图6，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（ ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不对
练习2.如图7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
四.课堂小结
1.线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来解会更方便些。
2.若三角形三边中垂线相交一点P，则P点到三顶点的距离相等.
当三角形是①锐角三角形②直角三形③钝角三角形时,点P分别在三角形_____、_____、_____.
五.分层过关
1.在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( )
A．有且只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
2．已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
3．如图8，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约
水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC
恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认
为最好的铺设方案是方案_____．
4.如图9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圆规，作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
5.如图10，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
图1
图2
图3
A
B
C
D
N
图4
M
图5
图7
图6
图8
图9
图10
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(总课时08)§1.3线段的垂直平分线（2）
【学习目标】理解三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.
【学习重难点】已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=5，
∠AEC=30°，AC=2.5.
二.探究新知
探究一:（1）剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线.
用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？
三角形三边的垂直平分线交于一点
（2）用尺规作出下列三角形三边的垂直平分线，你发现什么结论？
结论：由图形可以看出“三角形三边的垂直平分线交于一点”
探究二:三角形三边垂直平分线的性质的证明
求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图3，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．
求证：边AC的垂直平分线经过点O，且OA=OB=OC.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理OB=OC．∴OA=OB=OC．
∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．
探究三:用尺规作图
1.已知直线L和点P,过点P用作直线L的垂线
结论：过直线外(上）一点作直线的垂线，有且只有一条.
2.已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？
所作出的三角形都全等吗？
结论：这样的等腰三角形有无数多个，这些三角形不都全等．
3.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：线段a、h[
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[
作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图4)．
结论：这样的等腰三角形有一个.
三.典例与练习
例1.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ A ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点
练习1.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是( C )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
例2.如图6，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（ B ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不对
练习2.如图7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ B ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
四.课堂小结
1.线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来解会更方便些。
2.若三角形三边中垂线相交一点P，则P点到三顶点的距离相等.
当三角形是①锐角三角形②直角三形③钝角三角形时,点P分别在三角形内部、斜边中点、外部.
五.分层过关
1.在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D )
A．有且只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
2．已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ B）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
3．如图8，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约
水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC
恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认
为最好的铺设方案是方案③．
4.如图9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圆规，作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
解：(1)如图所示，DE即是要求作的AB边上的垂直平分线．
（2）证明：∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90 °－∠A＝90°－30°＝60°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30 °＝30°.∴∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠CBA.
5.如图10，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为9．
图1
P
E
F
N
M
Q
图2
图3
A
B
C
D
N
图4
M
图5
图7
图6
图8
图9
图10
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