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(总课时09)§1.4角平分线（1）
一.选择题：
1．巳知点C在∠AOB的内部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分线的式子有（ ）
①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ） A．17 B．18 C．20 D．25
3．如图2，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P作PE⊥AB于点E若PE=2.5则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：
6．如图5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有_______；②反之如果PM=PN，且_______________，那么OP平分∠AOB．
7．如图6，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是______．
8．如图7,已知BD丄AN于点B，交AE于点O，OC丄AM于点C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，则∠ADB=____．
9．如图8，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是_____．
10．如图9，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：
①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；
③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．
其中正确的结论个数为__________．
三.解答题:
11．如图10，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
12．如图11，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
图3
图2
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图11
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(总课时09)§1.4角平分线（1）
一.选择题：
1．巳知点C在∠AOB的内部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分线的式子有（ D ）
①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（C） A．17 B．18 C．20 D．25
3．如图2，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P作PE⊥AB于点E若PE=2.5则两平行线AD与BC间的距离为（ C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（C） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有（ D ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：
6．如图5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有PM=PN；②反之如果PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，那么OP平分∠AOB．
7．如图6，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是_6_．
8．如图7,已知BD丄AN于点B，交AE于点O，OC丄AM于点C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，则∠ADB=40°．
9．如图8，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是3cm．
10．如图9，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：
①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；
③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．
其中正确的结论个数为①②③．
三.解答题:
11．如图10，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠C＝∠BAD，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．
12．如图11，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
解（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，∴DP=EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，
，，∴BD=CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，，∴AD=AE，
∵AB=6cm，AC=10cm，∴6+AD=10-AE，即6+AD=10-AD，解得AD=2cm．
图3
图2
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图11
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(总课时09)§1.4角平分线（1）
【学习目标】理解角平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.
【学习重难点】角平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.你能利用折纸的方法得到一个角的平分线吗？
将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论
2.你还记得角平分线上的点有什么性质吗
_________________________________________.
二.探究新知
探究一：角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵
∴△PDO≌______(___)．
∴PD=___(_____________________)
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．∴PD=PE
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
探究二：角平分线的判定定理
交换角平分线的性质定理的题设和结论得到的逆命题是什么？它是真命题吗？请你说明理由.
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知:如图2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上
证明：
角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分线．
温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
三.典例与练习
例1.如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴___平分∠BAC
（_________________________________________________________）
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=______.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=___AD=___________
（________________________________________________________________________）.
练习1.如图4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，则点P到AB边的距离是___cm.
例2.如图5，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=______=90°，∠BDF=______,
∵BD=CD,∴△BDF≌______（______）∴DF=___(________________________）
又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.(________________________)
练习2.如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
四.课堂小结
1.角平分线的性质定理：_________________________________.
2.角平分线的判定定理：______________________________________________________.
3.性质定理判定定理的关系
五.分层过关
1.已知点P在∠AOB的内部且点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=45°,则∠AOB等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图7，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图8，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
4.如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是 ___．
5.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8.求DE的长；
6.已知：如图11，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上
7.如图12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正确的有_________．（填写序号）
A
O
B
对折
翻折
展开
A(B)
O
O
P
D(E)
P
C
C
C
图1
∠1=___，
∠PDO=_____=90°，
OP=___，
图2
图3
图5
图4
图6
互逆
点在角平分线上
点到角的两边距离相等
图7
图8
图9
图10
图11
图12
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(总课时09)§1.4角平分线（1）
【学习目标】理解角平分线的性质定理及判定定理,并会运用定理解决简单问题.
【学习重难点】角平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.你能利用折纸的方法得到一个角的平分线吗？
将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论
2.你还记得角平分线上的点有什么性质吗
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
二.探究新知
探究一：角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．∴PD=PE
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
探究二：角平分线的判定定理
交换角平分线的性质定理的题设和结论得到的逆命题是什么？它是真命题吗？请你说明理由.
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知:如图2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL），
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．即：点P在在∠AOB的角平分线上．
角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分线．
温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
三.典例与练习
例1.如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC
（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=0.5AD=0.5×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
练习1.如图4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，则点P到AB边的距离是2cm.
例2.如图5，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=∠CED=90°，∠BDF=∠CDE,
∵BD=CD,∴△BDF≌△CDE（AAS）∴DF=DE(全等三角形对应边相等）
又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.
练习2.如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．
在△CDF与△EDB中，∵，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．
在△ACD与△AED中，
∵，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．
四.课堂小结
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角平分线上.
3.性质定理判定定理的关系
五.分层过关
1.已知点P在∠AOB的内部且点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=45°,则∠AOB等于(D)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图7，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图8，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（C）
A．1 B．6 C．3 D．12
4.如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是 45 ．
5.如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8.求DE的长；
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC＝8，∴AB=10，
∵AD平分∠CAB，∴DE＝CD，AE=AC=6,
设CD=DE=x,则BD=8-x,BE=10-6=4,
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2，即：（8-x）2=16+x2
解得：x=3,∴DE＝3.
6.已知：如图11，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上
证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E.PH⊥BC于H，PG⊥AC，
交AC的延长线于点G，
∵BP是外角平分线，∴PE=PH，∵PC是外角平分线∴PG=PH
∴PM=PQ∴P在∠A的平分线上.
7.如图12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正确的有_①②④_．（填写序号）
A
O
B
对折
翻折
展开
A(B)
O
O
P
D(E)
P
C
C
C
图1
∠1=∠2，
∠PDO=∠PEO=90°，
OP=OP，
图2
图3
图5
图4
图6
互逆
点在角平分线上
点到角的两边距离相等
图7
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图9
图10
图11
图12
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