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(总课时11)§1.5复习
【学习目标】建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
【学习重难点】通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固.
【导学过程】
一.知识结构图
二.方法总结：
（1）证明线段相等：①可证明它们所在的两个三角形全等；②角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；③等角对等边；④等腰三角形三线合一的性质；⑤中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等：①同角的余角相等；②平行线性质；③对顶角相等；④全等三角形对应角相等；⑤等边对等角；⑥角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直：①证邻补角相等；②证和已知直角三角形全等；③利用等腰三角形的三线合一性质；④勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：证三角形的两边相等，两角相等和三线合一.
三.典例与练习
例1.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(B)
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
练习1.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(B)
A.40° B.36° C.30° D.25°
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.
(1)∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°.
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)∵∠ADC=∠B+∠DAB=75°,
∴∠DAC=∠ADC=75°.∴DC=AC,∴DC=AB.
练习2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.
证明：∵∠ACB=90°,∴∠CAD+∠CDE=90°.
∵CE⊥AD,∠CED=90°,∴∠CDE+∠DCE=90°.∴∠CAD=∠BCF.∵BF∥AC,
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°.∴∠ACD=∠CBF.
又AC=BC,∴∠ABD=∠CAB=45°.∴△ACD≌△CBF.∴CD=BF.
∵CD=DB,∴BD=BF.∴△BDF是等腰直角三角形.
∵BF∥AC,∴∠ABF=∠CAB=45°.∴∠ABD=∠ABF.∴AB垂直平分DF.
例3.如图,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,
求证:①AE=BD②PC=QC③DQ=PE④AP=BQ⑤△PQC为等边三角形⑥QP//BE.
证明：①易证△BCD≌△ACE(SAS).∴AE=BD.
②③易证：△QCD≌△PCE(ASA)∴PC=QC,DQ=PE;
④同理：△QCB≌△PCA(ASA)∴AP=BQ
⑤∵PC=QC，∠QCP=60°,∴△PQC为等边三角形.
⑥∵△PQC为等边三角形.∴∠CPQ=∠PCE=60°∴QP//BE.
练习3等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是：如果三角形两边上高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题（填“真”或“假”）.
四.课堂小结
1.知识内容：
（1）特殊图形（等腰三角形与直角三角形）的性质与判定
（2）证明线段相等的方法（线段的垂直平分线和角平分线性质和判定）
2.解题方法：
（1）证明题的思考方法（证明线段相等，角相等常用的方法）
（2）观察几何图形的角度（轴对称图形）
（3）题型的变式方式（逆向思考）
五.分层过关
1.等腰△ABC的两条边长分别为3和4，则其周长等于（ C ）
A．10 B．11 C．10或11 D．不确定
2.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ C ）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
3.如图5，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是BC上不与B和C重合的一个动点，过点P分别作AB和AC的垂线，垂足为E，F．则PE+PF=(D）
A． B． C．6 D．
4.如图6，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若AE=1，则BE的长为( A )
A．2 B．3 C．4 D．1
5.如图7，已知Rt△ABC，∠C=90，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 3 ．
6.如图8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于_12_cm.
7.如图9，已知，，与交于，．
求证：△OAB是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90，
Rt△ABD和Rt△BAC中，，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．
8.如图10,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD垂直平分EF.
证明∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∴点D在EF的垂直平分线上.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴点A在EF的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,∴直线AD是线段EF的垂直平分线.
全等三角形
判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.性质：①对应线段，②对应角相等.
三角形的证明
等腰三角形
性质：①等边对等角②三线合一③等边三角形三边相等，三角相等.
判定：①定义②等角对等边
③等边三角形判定：三边相等或三角相等，有一角是60°的等腰三角形.
判定：①有一个角是90°，②勾股定理逆定理.
性质
角：①有一个角是90°，②两锐角互余.
边：①30°角所对的直角边等于斜边的一半，②勾股定理.
直角三角形
线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线相交一点，这点到三顶点距离相等.
角平分线
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这样角平分线上.
三角形三角的平分线相交一点，这点到三边的距离相等.
尺规作图
①过一点作已知直线的垂线；
②已知一条直角边和斜边作直角三角形；
③已知底边和底边上的高作等腰三角形.
互逆命题及反证法
图1
图2
图3
图4
图7
图8
图6
图5
图9
图10
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(总课时11)§1.5复习
一.选择题：
1.等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为 C
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
2.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（ B ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
3.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( A )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4.如图1，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（ C ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
5.如图2的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 C
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
二.填空题：
6.等腰三角形的一个角为50°，则顶角是50°或80°．
7.如图3，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是 AC=AD或BC=BD ．
8.等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为9cm2．
9.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为_2.9_米.(结果精确到0.1米，≈1.73)
10.如图5，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝_3或3或3_．
三.解答题：
11.已知：如图6，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，
使CE＝CD．求证：BD＝DE．
证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝0.5∠ABC＝30°．
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴BD＝DE．
12.如图7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，直接写出DM和DN数量关系DM＝DN．
解：（1）连接AD，∵D为BC中点，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，
，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．
13.如图8，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并给出证明．
解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．
图3
图5
图4
图2
图1
图6
②
①
图7
图8
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(总课时11)§1.5复习
一.选择题：
1.等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
2.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
3.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4.如图1，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
5.如图2的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
二.填空题：
6.等腰三角形的一个角为50°，则顶角是_________．
7.如图3，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是________________．
8.等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为________cm2．
9.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为____米.(结果精确到0.1米，≈1.73)
10.如图5，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝_________________．
三.解答题：
11.已知：如图6，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．
12.如图7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，直接写出DM和DN数量关系______．
13.如图8，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并给出证明．
图3
图5
图4
图2
图1
图6
图7
②
图8
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(总课时11)§1.5复习
【学习目标】建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
【学习重难点】通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固.
【导学过程】
一.知识结构图
二.方法总结：
（1）证明线段相等：①可证明它们所在的两个三角形全等；②角平分线的性质定理：__________________
__________________；③等角对____；④等腰三角形________的性质；⑤中垂线的性质定理：____________
________________________________。
（2）证明两角相等：①同角的余角____；②平行线性质；③对顶角____；④全等三角形对应角____；⑤等边对____；⑥角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直：①证邻补角____；②证和已知直角三角形全等；③利用等腰三角形的________性质；④勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：证三角形的两边相等，两角相等和三线合一.
三.典例与练习
例1.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
练习1.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40° B.36° C.30° D.25°
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.
练习2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.
例3.如图,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,
求证:①AE=BD②PC=QC③DQ=PE④AP=BQ⑤△PQC为等边三角形⑥QP//BE.
练习3等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是：______________________________________
_______，这个逆命题是_____命题（填“真”或“假”）.
四.课堂小结
1.知识内容：
（1）特殊图形（等腰三角形与直角三角形）的性质与判定
（2）证明线段相等的方法（线段的垂直平分线和角平分线性质和判定）
2.解题方法：
（1）证明题的思考方法（证明线段相等，角相等常用的方法）
（2）观察几何图形的角度（轴对称图形）
（3）题型的变式方式（逆向思考）
五.分层过关
1.等腰△ABC的两条边长分别为3和4，则其周长等于（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．不确定
2.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
3.如图5，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是BC上不与B和C重合的一个动点，过点P分别作AB和AC的垂线，垂足为E，F．则PE+PF=( ）
A． B． C．6 D．
4.如图6，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若AE=1，则BE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．1
5.如图7，已知Rt△ABC，∠C=90，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 ．
6.如图8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于______cm.
7.如图9，已知，，与交于，．
求证：△OAB是等腰三角形．
8.如图10,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD垂直平分EF.
全等三角形
判定：____，____，____，____，___性质：①________，②________.
三角形的证明
等腰三角形
性质：①________②________③等边三角形________，________.
判定：①____②____________
③等边三角形判定：____________________，________________________.
判定：①____________，②____________.
性质
角：①________________，②____________.
边：①________________________________，②________.
直角三角形
线段的垂直平分线
性质：________________________________________.
判定：________________________________________.
三角形________________相交一点，这点到______距离相等.
角平分线
性质：_________________________________________.
判定：在一个角的内部，____________________________________.
三角形______________相交一点，这点到______的距离相等.
尺规作图
①过一点作已知直线的垂线；
②已知一条直角边和斜边作直角三角形；
③已知底边和底边上的高作等腰三角形.
互逆命题及反证法
图1
图2
图3
图4
图7
图8
图6
图5
图9
图10
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