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(总课时10)§1.5平方差公式（2）
一.选择题：
1.平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（ ）
A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以
2.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
3.将202×198变形正确的是（ ）
A．2002﹣4 B．2022﹣4 C．2002+2×200+4 D．2002﹣2×200+4
4.若m2﹣n2＝5，则（m+ n）2（m﹣n）2的值是（ ）
A．25 B．5 C．10 D．15
5.下列各式，能够表示图2中阴影部分的面积的是（ ）
①ac+（b﹣c）c；②ac+bc﹣c2；③ab﹣（a﹣c）（b﹣c）；④（a﹣c）c+（b﹣c）c+c2
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①
二.填空题:
6.利用平方差公式填空：39×41-1601=（____-___）（____+___）-（____+___）=______．
7.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为______cm2．
8.某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北向要缩短3米，东西向要加长3米，则改造后花坛的面积是______平方米，改造后花坛的面积减少了______平方米．
9.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___．
10.计算：=______．
三.解答题：
11.利用乘法公式计算：
（1）19.5×20.5； （2）2018×2020-20192； （3）12502﹣1248×1252；
12.计算：（1） （2）(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
13.街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米,东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后的长方形草坪的面积．
(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了 请说明理由．
13.如图3，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6,b=0.8呢？.
14.对于算式．
（1）不用计算器，你能计算出来吗；
（2）求出它计算的结果的个位是几．
图1
图2
图3
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(总课时10)§1.5平方差公式（2）
【学习目标】会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简便运算.
【学习重难点】公式的应用及推广.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平方差公式：(a+b)(a－b)=_______
2.平方差公式的结构特征:左边：①二项式的乘______；②有两项______，两项____________.
右边：③______的平方减去______的平方.
二.探究新知
1.平方差公式的几何背景
如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形
（1）请表示图1中阴影部分的面积：S1=______ .
（2）小颖将阴影部分拼成一个长方形（如图2），这
个长方形的长是______，宽是______，
面积S2=____________
（3）比较S1，S2的结果，你能验证平方差公式吗？
由S1=S2，得：__________________.
2.计算、猜想、证明:
（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点
(2)从以上过程中，你发现了什么规律？
7×9=(____)(____)=____；11×13=（____）（____）=____；...(2n-1)(2n+1)=________.
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
________________________.
三.典例与练习
例1.利用平方差公式计算：（1）103×97； （2）118×122
解：(1)原式=（____+___）（____-___） （2）原式=（____-___）（____+___）
=(____)2-(____)2=__________ =（____)2-(____)2=____________.
=________ =________
练习1.用平方差公式计算：（1）1992×2008 （2）996×1004
例2.计算：（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
（3）(x+2y)(x－2y)-(x+1)(x－1) （4）x(x-1)-
练习2.用简便方法计算：
（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
例3.计算：(1)10.3×9.7 (2)
练习3.填空：（1）20×19=________ (2)=________.
四.课堂小结
应用平方差公式时的注意事项:(1）牢记公式结构特征；（2）字母a、b可以是数，也可以是代数式；
(3）注意计算过程中的符号变化.
五.分层过关
1.若x+y=6，x-y＝5，则x2-y2等于( )．A.11 B.15 C.30 D.60
2.如图3，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
3.如图4，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
4.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（0.5a+b）（b-0.5a） C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）
5.计算：20202﹣2021×2019=____．
6.计算：=____．
7.利用平方差公式计算：
（1）102×98． （2） （3）x(x+1)+(2-x)(2+x)
（4）(3x-y)(3x+y)+y(x+y) （5）
8.巧算： [提示：a2-b2=(a+b)(a-b)]
a
b
a
b
图2
图1
图3
图4
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(总课时10)§1.5平方差公式（2）
【学习目标】会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简便运算.
【学习重难点】公式的应用及推广.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.平方差公式的结构特征:左边：①二项式的乘二项式；②有两项相同，两项互为相反数.
右边：③相同项的平方减去相反项的平方.
二.探究新知
1.平方差公式的几何背景
如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形
（1）请表示图1中阴影部分的面积：S1=a2-b2 .
（2）小颖将阴影部分拼成一个长方形（如图2），这
个长方形的长是(a+b)，宽是(a-b)，
面积S2=(a+b)(a-b)
（3）比较S1，S2的结果，你能验证平方差公式吗？
由S1=S2，得：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.计算、猜想、证明:
（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点
(2)从以上过程中，你发现了什么规律？
7×9=(8-1)(8+1)=82-1；11×13=（12-1）（12+1）=122-1；...(2n-1)(2n+1)=(2n)2-1
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+1)(a-1)=a2-1
三.典例与练习
例1.利用平方差公式计算：（1）103×97； （2）118×122
解：(1)原式=（100+3）（100-3） （2）原式=（120-2）（120+2）
=1002-32=10000-1 =1202-22=14400-4
=9991 =14396
练习1.用平方差公式计算：（1）1992×2008 （2）996×1004
解：（1）原式=(2000 8)×(2000+8)=3999936
（2）原式=999984
例2.计算：（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
（3）(x+2y)(x－2y)-(x+1)(x－1) （4）x(x-1)-
解：（1）原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2=a4
(3)原式=x2-4y2-x2+1=-4y2+1
练习2.用简便方法计算：
（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
解：（1）1232﹣124×122
=1232﹣（123+1）（123﹣1）
=1232﹣（1232﹣1）
=1232﹣1232+1
=1；
例3.计算：(1)10.3×9.7 (2)
解：(1)原式=（10+0.3）（10-0.3） （2）原式=（3+）（3-）
=10000-0.09=9999.91 =9-=8
练习3.填空：（1）20×19=399 (2)=1599
四.课堂小结
应用平方差公式时的注意事项:(1）牢记公式结构特征；（2）字母a、b可以是数，也可以是代数式；
(3）注意计算过程中的符号变化.
五.分层过关
1.若x+y=6，x-y＝5，则x2-y2等于( C )．A.11 B.15 C.30 D.60
2.如图3，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ D ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
3.如图4，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ B ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
4.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ B ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b-a） C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）
5.计算：20202﹣2021×2019=1．
6.计算：=2．
7.利用平方差公式计算：
（1）102×98． （2） （3）x(x+1)+(2-x)(2+x)
解：(1)原式=9996
(2)原式=999
（3）原式=x+4
（4）(3x-y)(3x+y)+y(x+y) （5）
（4）原式=9x2+xy (5)原式=b2-8a2
8.巧算： [提示：a2-b2=(a+b)(a-b)]
解：原式=
=
==.
a
b
a
b
图2
图1
6400
64
144
802-1
122-1
82-1
(2)原式=4x2-25-4x2+6x=6x-25
(4)原式=x2-x-x2+=-x+
（2）原式=（4a2﹣b2）（4a2+b2）
=16a4-b4
图3
图4
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(总课时10)§1.5平方差公式（2）
一.选择题：
1.平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（ D ）
A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以
2.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ A ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
3.将202×198变形正确的是（ A ）
A．2002﹣4 B．2022﹣4 C．2002+2×200+4 D．2002﹣2×200+4
4.若m2﹣n2＝5，则（m+ n）2（m﹣n）2的值是（ A ）
A．25 B．5 C．10 D．15
5.下列各式，能够表示图2中阴影部分的面积的是（ A ）
①ac+（b﹣c）c；②ac+bc﹣c2；③ab﹣（a﹣c）（b﹣c）；④（a﹣c）c+（b﹣c）c+c2
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①
二.填空题:
6.利用平方差公式填空：39×41-1601=（40-1）（40+1）-（402+1）=-2．
7.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为110cm2．
8.某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北向要缩短3米，东西向要加长3米，则改造后花坛的面积是25x2平方米，改造后花坛的面积减少了9平方米．
9.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是10．
10.计算：=．
三.解答题：
11.利用乘法公式计算：
（1）19.5×20.5； （2）2018×2020-20192； （3）12502﹣1248×1252；
解：(1)19.5×20.5
=（20+0.5）（20-0.5）
=400-0.25
=399.75
12.计算：（1） （2）(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
解：（1）
．
13.街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米,东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后的长方形草坪的面积．
(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了 请说明理由．
解:(1)设原来的正方形的边长为a，则新的长方形的边长为a+2,a-2，
∴改造后的长方形草坪面积为(a+2)(a-2)=a2-4；
(2)原来正方形草坪面积为：a2
∵a2-(a2-4)=4
∴改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减少4cm2．
13.如图3，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6,b=0.8呢？.
解：由题意可得：剩余部分的面积为：a2 4×b2＝a2 4b2；
当a＝3.6，b＝0.8时，
a2 4b2＝（a＋2b）（a 2b）＝（3.6＋2×0.8）（3.6 2×0.8）＝10.4，
即剩余部分的面积是10.4cm2．
14.对于算式．
（1）不用计算器，你能计算出来吗；
（2）求出它计算的结果的个位是几．
解：（1）原式＝（3 1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（32 1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（34 1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（332 1）（332＋1）＋1＝364．
（2）根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243发现四次一循环，
∵64÷4＝16，∴364的末位数字为1．
图1
图2
（3）12502﹣1248×1252
=12502﹣(1250﹣2)×(1250+2)
=12502﹣(12502﹣22)
=12502﹣12502+22=4；
（2）2018×2020-20192
=（2019-1）（2019+1）-20192
=20192-1-20192=-1
（2）原式
图3
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