(共51张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考点一
考点二
考点三
考点一 三角恒等变换
——公式要活用，变换要恒等
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝________________；
(2)cos (α±β)＝________________；
(3)tan (α±β)＝________________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝__________；
(2)cos 2α＝__________＝__________＝__________；
(3)tan 2α＝__________．
sin αcos β±cos αsin β
cos αcos β sin αsin β
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝__________________；
tan α－tan β＝__________________．
(2)升幂公式
1＋cos α＝________；1－cos α＝________；
(3)降幂公式
sin2α＝________；cos2α＝________．
tan(α＋β)(1－tan αtan β)
tan (α－β)(1＋tan αtan β)
2cos2
2sin2
答案：B
答案：D
答案：B
归纳总结
化简三角函数式的规律
规律 解读
一角 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式
二名 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”
三结构 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等
提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况；
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
对点训练
1.[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：方法一 因为tan2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.
答案：D
考点二
利用正、余弦定理解三角形
考点二 利用正、余弦定理解三角形——选用定理，边角互化
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，________＝________＝________＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝________________；
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝____________．
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝__________＝__________．
b2＋c2－2bc cos A
bc sin A
ac sin B
归纳总结
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
答案：A
归纳总结
与三角形有关的最值或取值范围问题一般有两类：第一类是求角的最值或取值范围，这时一般应用三角函数值的范围解决；第二类是求边或周长、面积的最值或取值范围，这时一般利用基本不等式或函数的单调性解决．
角度 3 三角形的实际应用
例 4 [2021·全国甲卷] 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( )
A．346 B．373
C．446 D．473
答案：B
解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又因为在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
归纳总结
解三角形应用题的4个要点
提醒 (1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角、方向(位)角是关键．
(2)在解应用题时，还要根据题意正确画出示意图．
答案：C
2．[2023·四川省绵阳市高三考试]2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神鸟形象、蜀锦与宝相花纹(芙蓉花)元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得BC＝36 m，∠ABC＝45°，∠ACB＝105°，在C处测得阁顶P的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP为(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)( )
A．72.0 m B．51.0 m
C．50.8 m D．62.3 m
答案：C
3．[2023·广东省深圳市检测]如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距＋海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击．
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里；
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
考点三
与解三角形有关的交汇问题
考点三 与解三角形有关的交汇问题 [交汇创新]——转问题，选定理，得结论
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
例 5 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.
(1)求△ABC的面积；
(2)已知平面直角坐标系xOy中，点D(10，0)，若函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)(M>0，ω>0，|φ|<)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．
解析：(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，
又因为A＋B＋C＝π，所以A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.
因为CO＝10×sin ＝5，
所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3)．
(2)因为AO＝10×cos ＝5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，
故ω＝.
因为f(－5)＝M sin ＝0，
所以sin ＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝.
因为f(0)＝M sin ＝5，所以M＝10，
所以f(x)＝10sin .
归纳总结
解三角形与三角函数交汇问题一般步骤
答案：B
[高考5个大题] 解题研诀窍(一) 三角函数问题重在“变”——变角、变式
[思维流程——找突破口]
[技法指导——迁移搭桥],
1.常用的变角技巧
(1)已知角与特殊角的变换；
(2)已知角与目标角的变换；
(3)角与其倍角的变换；
(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·＝.
2．常用的变式技巧
主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：
(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；
(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－]，将原问题转化为关于t的函数来处理；
(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．
[典例] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos .
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．
[快审题]
求什么 想什么 求角B的大小，想到角B的三角函数值．
求三角函数值，想到由已知三角函数值求值．
给什么 用什么 已知边角关系式，用正弦定理统一角．
已知边的大小，用余弦定理求边．
差什么 找什么 求sin (2A－B)的值，缺少2A的三角函数值，
应找A的三角函数值．
[稳解题]
(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得b sin A＝a sin B．
又因为b sin A＝a cos ，
所以a sin B＝a cos ，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝ ．
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝.
由b sin A＝a cos ，可得sin A＝.
因为a所以sin 2A＝2sin A cos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝．
所以sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B
＝＝.
题后悟道
1．利用正、余弦定理求解问题的策略
2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”
升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．(共46张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系——牢记“口诀”，勿忘“关系”
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝________．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：____________＝1，＝________．
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
y
x
sin2α＋cos2α
tanα
答案：C
答案：B
答案：A
归纳总结
利用公式进行化简求值的策略
(1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负→脱周→化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
(2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
提醒 使用三角函数诱导公式易错的地方有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．
对点训练
1.[2023·河南新乡二模]已知点A是α的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为－，则cos 2α＝( )
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：由题意知，cos α＝－，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.故选C.
答案：A
答案：A
考点二
三角函数的图象与解析式
考点二 三角函数的图象与解析式
——平移看“ω，φ”，伸缩看“A，ω”，由图定式找对应，性质、图象结合牢
三角函数图象的变换
先平移后伸缩
先伸缩后平移
答案：C
答案：C
归纳总结
由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
提醒 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
答案：C
答案：D
考点三 三角函数的性质及应用
考点三 三角函数的性质及应用——类比对应，寻找“源”头，整体代换
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是________________(k∈Z)．
[2kπ-，2kπ+]
[2kπ+，2kπ+]
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ-)
2．三角函数的奇偶性与对称性
(1)y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得；
(2)y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得；
(3)y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
kπ
kπ＋
kπ＋
kπ
角度1 单调性为主
例 3 [2022·北京卷]已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案：C
解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的减区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z.令k＝0，则[0，]为f(x)的一个减区间．因为(0，)∈[0，]，所以f(x)在(0，)上单调递减．故选C.
归纳总结
判断三角函数单调性的方法技巧
(1)代换法：求形如y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(3)导数法：利用导数与单调性之间的关系．
答案：D
归纳总结
1．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
对点训练
1.[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin 的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为 且 ，CD选项均不满足条件．
故选A.
答案：B
答案：D
考点四 三角函数与其他知识的交汇问题
考点四 三角函数与其他知识的交汇问题 [交汇创新]——画图象，用性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．
例 5 (1)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M为( )
A．(0，1) B．(0，1]
C．[0，1) D．[0，1]
答案：C
解析：y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|∈[0，1]，所以M＝[0，1].因为<，所以|x＋i|<，即x2＋1<2.又因为x∈R，所以－1(2)已知函数f(x)＝sin x．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x18
解析：因为f(x)＝sin x，所以＝2，因此要使得满足条件|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12的m最小，须取x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，x8＝6π，即m＝8.
归纳总结
解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质．本例(1)是三角函数与复数的交汇，本例(2)是绝对值不等式与三角函数的最值问题，利用放缩法解决．
对点训练
设an＝sin ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )
A．25 B．50
C．75 D．100
答案：D
解析：当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.
