24.1.2垂直于弦的直径 课件

课件29张PPT。24.1.2 垂直于弦的直径 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 一、 实践探究如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？·OABCDE二、（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合．因此 AE=BE　
即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒⌒OBCD·AE⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦垂径定理三种语言1.定理 垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要 相互转化,形成整体,才能运用自如.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、几何语言表达推论：判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧 辨别是非小试牛刀：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA，作OE⊥AB于
点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在RtAOE中，据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
注意：圆心到弦的距离叫弦心距解决求赵州桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O 作弦AB 的垂线OC，垂足为D，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米实践应用：⌒⌒⌒⌒⌒·OABCDE若直径平分弦（弦不是直径），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：AC=BC定理及推论，总结：一条直线只需满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．中的任意两个条件，就能推出其它三个.简称“知二推三”.如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE
OE=5，AB=24，求⊙O的半径·OABCDE练一练：挑战自我填一填1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）

(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
.
(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）??√挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又　∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形.提高练习 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．3：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.练习5:如图，CD为圆O的直径，弦
　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
　　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。总结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答.船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. DC课后小结1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d + h = r