7.2.1 任意角的三角函数 课件(共78张PPT) 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

(共78张PPT)
高中数学苏教版必修第一册
第7章 三角函数
7.2 三角函数的概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时　三角函数
课标阐释 思维脉络
1.能借助圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.(数学抽象)
2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号.(数据运算、逻辑判断)
情境导入
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.乘客坐在摩天轮座舱中慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.摩天轮直径为110米,轮外装挂48个360度透明座舱,可同时供384个人观光,摩天轮旋转一周所需时间为28分钟.
若你现在坐在座舱里,从某初始位置出发,过2分钟
后,你离地面的高度是多少 过5分钟呢 过t分钟呢
这是一个函数关系吗 有什么特点
知识点拨
一、任意角的三角函数
对于任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r,则
要点笔记在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集.
微思考
三角函数值与角终边上的取点的位置有关吗
提示 三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定,即三角函数值的大小只与角有关.
微练习
答案 B
二、三角函数在各象限的符号
正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.
要点笔记正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.
微思考
对正弦函数、余弦函数、正切函数的值的符号如何进行简记
提示 可用下列口诀记忆:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,该口诀表示:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.
微练习 1
若sin θA.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 由条件可知cos θ>0,sin θ<0,则θ为第四象限角,故选D.
微练习 2
答案 <
探究一
任意角三角函数的定义及应用
A.(-4,3) B.(3,-4)
C.(4,-3) D.(-3,4)
(2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α=　　　　　.
答案 (1)A　(2)1或-1
解析 (1)由sin α,cos α的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A.
反思感悟由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤:
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
由α的终边上一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则
已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.
变式训练1(1)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
(2)已知角α的终边与单位圆的交点为(- ,y)(y<0),则sin αtan α=　　　　.
探究二
求特殊角的三角函数值
例2利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
要点笔记在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义,即可得到特殊角的三角函数值.
变式训练2对于表中的角α,计算sin α,cos α,tan α的值,并填写下表.
探究三
三角函数符号的判断
例3判断下列各式的符号.
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°;
(2)tan 191°-cos 191°;
(3)sin 2cos 3tan 4.
解 (1)∵2 015°=5×360°+215°,
2 016°=5×360°+216°,2 017°=5×360°+217°,
∴它们都是第三象限角,
∴sin 2 015°<0,cos 2 016°<0,tan 2 017°>0,
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角,
∴tan 191°>0,cos 191°<0,
∴tan 191°-cos 191°>0.
∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,
∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2cos 3tan 4<0.
要点笔记由三角函数的定义知 (r>0,x≠0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.
变式训练3判断下列式子的符号:
sin 320°cos 385°tan 155°tan(-480°).
解 270°<320°<360°,360°<385°<450°,90°<155°<180°,
-540°<-480°<-450°,
则320°为第四象限角,385°为第一象限角,155°为第二象限角,-480°为第三象限角,
所以sin 320°<0,cos 385°>0,tan 155°<0,tan(-480°)>0.
所以sin 320°cos 385°tan 155°tan(-480°)>0.
答案 四
素养形成
思想方法——角α的终边落在直线或射线上三角函数值的求解问题
典例(1)已知角α的终边落在射线y=2x(x>0)上,求角α的正弦、余弦和正切值;
(2)角α的终边为射线y=- x(x>0),求角α的正弦、余弦和正切值;
(3)α的终边落在直线y=2x上,求角α的正弦、余弦和正切值.
解 (1)设射线y=2x(x>0)与单位圆的交点为P(x,y),
(3)若α终边在第一象限内,解答过程同本例(1).
若α终边在第三象限内,设点P(x,2x)(x<0)是其终边上任意一点,因为
素养归纳1.注意区分角的终边所在直线和射线的不同及分类讨论、数形结合思想的应用;
2.本案例蕴含了数学的核心素养中的数学建模、数学运算.
当堂检测
答案 B
2.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
答案 B
解析 ∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角,故该三角形为钝角三角形.
3.已知α= ,则点P(sin α,cos α)所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 因为α= ,则其终边在第二象限,故sin α>0,cos α<0,所以点P
(sin α,cos α)在第四象限.
A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}
C.{-1,3} D.{-1,1}
答案 C
解析 由题意可知,角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=-1+1-1=-1.因此所求函数的值域为{-1,3}.
5.已知cos θtan θ<0,那么角θ是　　　　　　象限角.
答案 第三或第四
解析 ∵cos θtan θ<0,∴cos θ,tan θ异号,则角θ为第三或第四象限角.
高中数学苏教版必修第一册
第7章 三角函数
7.2 三角函数的概念
7.2.1 任意角的三角函数
第2课时　三角函数线
课标阐释 思维脉络
1.借助单位圆了解三角函数线的意义.(数学抽象)
2.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(直观想象)
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(数学建模)
情境导入
角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢 能否用几何方式来表示三角函数呢 如图,设角α为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sin α=y,cos α=x都是正数.
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗 tan α= 怎样表示
知识点拨
一、单位圆和有向线段
(1)取r=1,即选取角α终边与单位圆(圆心在原点,半径等于单位长度的圆)的交点为P(x,y),则sin α=y,cos α=x.
(2)规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫有向线段.
类似地,可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB.
微练习
答案 B
二、三角函数线
已知角α的终边位置(图中圆为单位圆),则角α的三条三角函数线如图所示,有向线段MP,OM,AT叫作角α正弦线、余弦线、正切线,则sin α=MP,
cos α= OM ,tan α= AT .
名师点析 三角函数线的方向:正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点.
微思考 1
三角函数线的正负方向如何规定
提示 与x,y轴的正半轴同向的为正,反之为负.
微思考 2
你能根据三角函数线判断正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的单调性吗 能判断正切函数在区间(- )上的单调性吗
微练习
已知 的正弦线为有向线段MP,正切线为有向线段AT,则有(　　)
A.有向线段MP与有向线段AT的方向相同
B.MP=AT
C.MP>0,AT<0
D.MP<0,AT>0
答案 C
解析 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.
三、三角函数的定义域
三角函数 定义域
y=sin x R
y=cos x R
y=tan x
微思考
任意角都有三角函数线吗
提示 任意角都有正弦线、余弦线,但α=kπ+ ,k∈Z时,正切线不存在.
微练习
函数y=lg(cos α- )的定义域为　　　　　　　　　.
探究一
作三角函数线
例1在单位圆中作出符合下列条件的角的终边.
解 (1)cos x=- ,作直线x=- 交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.
(2)sin x= ,作直线y= 交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.
(3)tan x=-2,作直线y=-2交单位圆的切线x=1于点T,直线OT交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.
反思感悟对于(1),设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,所以要作出满足cos x=- 的角的终边,只要在单位圆上找出横坐标为- 的点P,则OP即为角α的终边;对于(2)(3),可采用同样的方法处理.
图1
图2
探究二
用三角函数线比较大小
例2利用三角函数线比较下列各组数的大小.
反思感悟利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
解析 由图可知,
探究三
利用三角函数线解不等式
例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.
解 (1)作直线y= 交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图1阴影部分)即为角α的终边的范围.
反思感悟1.通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:
(1)作出取等号的角的终边;
(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围;
(3)将图中的范围用不等式表示出来.
2.求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.
延伸探究求y=lg(1- cos x)的定义域.
解 如图所示,
素养形成
单位圆和正射影
1.单位圆
半径为1的圆叫作单位圆.
设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),A'(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1),B'(0,-1),如图.
2.正射影
设单位圆的圆心与坐标原点重合,角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点P(如图),过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴、y轴上的正射影,简称射影.
由三角函数的定义可知,点P的坐标为(cos α,sin α),其中cos α=OM,sin α=ON.
这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
典例 若α∈(0, ),试证明:sin α+cos α>1.
当堂检测
1.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为(　　)
A.sin 1>cos 1>tan 1
B.sin 1>tan 1>cos 1
C.tan 1>sin 1>cos 1
D.tan 1>cos 1>sin 1
答案 C
解析 画出1 rad的正弦线、余弦线、正切线,易知cos 1答案 B
3.在[0,2π)上,满足sin α=cos α的α的取值集合是　　　　　　　　　.
4.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
5.求下列函数的定义域:
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