7.3 三角函数的图像和性质 课件(共94张PPT)2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

(共94张PPT)
高中数学苏教版必修第一册
第7章 三角函数
7.3 三角函数的图像和性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质
课标阐释 思维脉络
1.能利用单位圆和三角函数的定义画y=sin x,y=cos x的图象.(数学抽象、直观想象)
2.掌握“五点法”画正弦曲线与余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦图象.(直观想象)
3.初步掌握正弦、余弦函数的基本性质,并理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(数学运算、逻辑推理)
情境导入
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
知识点拨
一、“五点”法作图及正弦函数、余弦函数的图象
函数 正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x
图象
图象画法 “五点法” 关键五点 (0,0),,(π,0),,(2π,0) (0,1),,(π,-1),,(2π,1)
微判断
(1)函数y=sin x与y=cos( +x)的图象完全相同.(　　)
(2)直线y= 与函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象有两个交点.(　　)
答案 (1)×　(2)√
微练习
函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
答案 B
解析 y=sin(-x)=-sin x,故图象与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.
二、正弦函数、余弦函数的性质
函数 正弦函数y=sin x 余弦函数 y=cos x
定义域 R R
值域 [-1,1] [-1,1]
周期性 2π 2π
单调性 在每一个闭区间 [2kπ-,2kπ+] (k∈Z)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上都是减函数,其值由1减小到-1 在每一个闭区间 [2kπ-π,2kπ]
(k∈Z)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 上都是减函数,其值由1减小到-1
函数 正弦函数y=sin x 余弦函数 y=cos x
最值 当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=-+2kπ (k∈Z)时,取得最小值-1 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z
对称 中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z
名师点析 (1)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.
(2)正弦曲线有无数个对称中心,它们为点(kπ,0)(k∈Z);也有无数条轴对称图形,其对称轴的方程为x=kπ+ (k∈Z).
(3)余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心的坐标为
(k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
微判断
(1)函数y=sin x的图象向右平移 个单位得到函数y=cos x的图象.(　　)
(2)存在实数x,使得cos x= .(　　)
(3)函数y=sin x,x∈(0,π)是奇函数.(　　)
(4)函数y=sin x的增区间恰好是y=sin(-x)的减区间.(　　)
答案 (1)×　(2)×　(3)× (4)√
微练习 1
答案 A
微练习 2
函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是(　　)
A.-1　　　　　B.1
C.- D.-5
答案 C
探究一
用“五点法”作函数的图象
例1用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y= +sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
解 (1)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:
描点画图,然后由周期性得整个图象.
(2)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:
描点画图,然后由周期性得出整个图象.
反思感悟用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)(或y=Acos x+b(A≠0))在区间[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
变式训练1函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图是(　　)
答案 A
解析 列表:
观察各图象发现A项符合.
探究二
三角函数的奇偶性
例2判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)=sin(cos x).
(2)函数的定义域为R,
且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),
所以函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.
反思感悟利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x)与f(x)有何关系,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
变式训练2判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sin x.
解 (1)函数的定义域为R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,
因为f(x)=cos x-x3sin x,
所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)
=cos x-x3sin x=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
探究三
正弦函数、余弦函数的单调性
例3求下列函数的减区间:
反思感悟求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
变式训练3已知函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象过(π,-1)点,且在区间
上为增函数,则ω的值为　　　　　.
例4比较下列各组数的大小:
(1)sin 250°与sin 260°;
解 (1)∵函数y=sin x在90°到270°上是减函数,且90°<250°<260°<270°,∴sin 250°>sin 260°.
反思感悟比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.
变式训练4比较下列各组数的大小.
(2)∵sin 194°=sin(90°+104°)=cos 104°,
而0°<104°<160°<180°,
且y=cos x在[0,π]上是减函数.
∴cos 104°>cos 160°,即sin 194°>cos 160°.
探究四
三角函数的最值
例5求下列函数的最值.
反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路
1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin x≤1)求解.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为
[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.
3.求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.
4.求形如y= ,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
素养形成
利用数形结合思想解决解的个数问题
典例 方程lg x=sin x的解的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg x与y=sin x的图象,如图
无交点.如图所示,由图知有三个交点,故方程有三个解.
答案 D
方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.
变式训练(1)方程2x=cos x的解的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
(2)在区间(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　)
答案 (1)D　(2)C
解析 (1)画出函数y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.
(2)在同一坐标系中画出函数y=sin x,x∈(0,2π),y=cos x,x∈(0,2π)的图象,
当堂检测
1.用“五点法”作函数y=cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
答案 B
答案 B
3.函数y=cos 2x在下列哪个区间上是减函数(　　)
答案 C
解析 若函数y=cos 2x是减函数,应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,即kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,令k=0,可得0≤x≤ .
答案 B
5.下列关系式中正确的是(　　)
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°答案 C
解析 ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,
cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°.
由正弦函数的单调性得sin 11°即sin 11°高中数学苏教版必修第一册
第7章 三角函数
7.3.2 三角函数的图像与性质
第2课时　正切函数的图象与性质
课标阐释 思维脉络
1.能借助单位圆中的正切线画出y=tan x的图象.(直观想象)
2.掌握正切函数y=tan x的性质,并能运用性质解决问题.(数学抽象、逻辑推理)
情境导入
正弦、余弦函数的图象可以通过平移实现相互转化,请根据同角三角函数关系思考,正切函数的图象可以由正弦、余弦函数图象平移得到吗
知识点拨
函数y=tan x的图象与性质
解析式 y=tan x
图象
微判断
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数在整个定义域上是增函数.(　　)
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.(　　)
(4)正切函数没有对称轴,但有对称中心.(　　)
答案 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
微练习 1
tan x≥1的解集为(　　)
答案 D
微练习 2
答案 C
探究一
正切函数的定义域和值域
例1求下列函数的定义域:
反思感悟1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解得x.
2.与正切函数有关的求解值域的方法为换元法和正切函数图象的运用.
答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
探究二
与正切函数有关的周期性、奇偶性、对称性问题
例3关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中正确的说法的序号是　　　　　.
答案 ②③④
反思感悟正切型函数y=Atan(ωx+φ)的周期性、奇偶性、对称性
变式训练2关于函数f(x)=-tan 2x,有下列说法:
A.①②③ B.②④⑤
C.②④ D.③④⑤
答案 C
探究三
正切函数的单调性及应用
反思感悟1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan [-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
答案 >
素养形成
正切函数图象的画法
1.画正切函数图象
(1)几何法
图1
具体作法如下:
①作直角坐标系,并在直角坐标系中y轴左侧以O1为圆心作单位圆;
②在单位圆中,把单位圆的右半圆分成8等份,作出对应于
图2
(2)三点两线法
类比正弦、余弦函数图象的“五点法”,我们可以采用“三点两线法”绘制正
2.画正切型函数图象
作正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,可以考虑“三点两线法”或“图象变换法”.
(1)三点两线法
连线:将中间三点用光滑曲线连接,并无限接近两直线.
(2)图象变换法
先画出正切函数图象,再根据正切型函数的特征,进行平移或伸缩变换,得到所求函数图象.
当堂检测
1.下列说法正确的是(　　)
A.y=tan x是增函数
B.y=tan x在第一象限是增函数
C.y=tan x在某一区间上是减函数
答案 D
解析 由正切函数的图象可知D正确.
答案 D
答案 A
②为奇函数;
③以π为最小正周期;
答案 ①②
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