邕衡金卷·名校联盟
柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.己知集合A={1,3,4},集合B={2,3,4,6},则如图中的阴影部分表示（)
A.{3,4}
B.{1}
C.{2,6}
D.{1,23,4,6}
2.已知命题p:3x∈R,lgr+x≥3，则一p为()
A.x∈R,lgr+x<3
B.3x∈R,lgx+x<3
C.x∈R,lgr+x≥3
D.3x∈R,lgx+x≤3
3.一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26，经计算，则75%分位数是
()
A.18
B.20
C.21
D.22
4.若cosd+
4
3-5
则sin2a=(
A.
>
B.-
7
C.
9
D.
9
25
25
25
5.已知f(x)=
COSx
(x2+3x)x+a)
为奇函数，则a=()
A.3
B.-3
C.0
D.-1
数学试题第1页（共4页)
6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射
光线经过抛物线的焦点.过点P(2V2,5)且平行于y轴的一条光线射向抛物线C:x2=4y上
的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B,则AB=()
A月
B.9
C.36
D.9
7.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做“和差等比数列”·已知{a}是“和差等比数列”，a1=1,a2=3,则
满足使不等式am>100的n的最小值是()
A.8
B.7
C.6
D.5
8.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完
金设有思路，有思路的题日每道假对的概率为，设有思路的题日只好任意猎一个答
案.若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为(
1
5
A.4
C.3
D.
16
32
二、
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数z满足zi=1-i,则下列命题正确的有()
A.z的虚部是-1
B.以=V2
C.z2=2
D.z是方程x2+2x+2=0的个根
10.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动
称为“简谐运动”·在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数
f(x)=Asin(r+p(A>0,o>0,g<π的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
()
A.0=2,频率为1，初相为
6
B.函数f(x)的图象关于直线x=-严对称
13
6
12
C.函数f(x)在
π13π
上的值域为[0,2]
1224」
D.若把f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原
来的号倍级坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是y=2sn3x+号)
12
数学试题第2页（共4页）柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知集合A= 1,3,4 ，集合B= 2,3,4,6 ，则如图中的阴影部分表示 ( )
A. 3,4 B. 1 C. 2,6 D. 1,2,3,4,6
【答案】C
【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于B不属于A的元素组成的集合，又A= 1,3,4 ，B= 2,3,4,6 ，所
以韦恩图中的阴影部分表示的集合是 2,6 .
故选：C.
2.已知命题 p： x∈R,lgx+ x≥ 3，则 p为 ( )
A. x∈R,lgx+ x< 3 B. x∈R,lgx+ x< 3 C. x∈R,lgx+ x≥ 3 D. x∈R,lgx+ x≤ 3
【答案】A
【详解】命题 p是存在量词命题，所以 p是“ x∈R,lgx+ x< 3”。故选A.
3.一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26经计算，则 75%分位数是 ( ）
A. 18 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】B
【解析】因为 8× 75%= 6,故 75%分位数是第 6个和第 7 18+ 22个的平均数，则 2 = 20
4.若 cos α+ π = 34 5 ，则 sin2α= ( )
A. 725 B. -
7
25 C.
9 9
25 D. - 25
【答案】A
cos2 α+ π【详解】 = cos2 α+ π - sin2 α+ π = 3
2
4 4 4 5 -
2
4 75 =- 25 ,所以 sin2α=-cos 2α+
π 7
2 = 25 .
故选：A
5.已知 f(x) = cosx( 2+ ) ( + ) 为奇函数，则 a= ( )x 3x x a
A. 3 B. - 3 C. 0 D. - 1
【答案】B
【详解】由（x2+ 3x) (x+ a) ≠ 0 x≠ 0且 x≠-3且 x≠-a.因为该函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，因此
-a= 3 a=-3, ( cos(-x)即 f x) = cosx cosx cosx cosx(x2+ 3x) (x- 3) = ( + ) ( - ) = ( 2- ) .因为 f(-x) =x x 3 x 3 x x 9 -x( =-x2- 9) x(x2- ) =-f(x),9
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
所以该函数是奇函数，符合题意。
故选B.
6. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．
过点P 2 2 ,5 且平行于 y轴的一条光线射向抛物线C：x2= 4y上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点
B，则 AB = ( )
A. 72 B. 9 C. 36 D.
9
2
【答案】D
2
【详解】解：由题意得点A的坐标为 2 2 ,2 ，C的焦点为F 0,1 ，所以直线AB的方程为 y= 4 x+ 1，与抛物线
方程 x2= 4y联立，消去 y得 x2- 2x- 4= 0，由韦达定理得 xA+ xB= 2 y + y =
2
，所以 A B 4 xA+ xB + 2=
5
2 ，
9
所以由抛物线的定义得 AB = yA+ yB+ 2= 2 ．故选：D
7. 如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
“和差等比数列”.已知 an 是“和差等比数列”，a1= 1，a2= 3，则满足使不等式 an> 100的n的最小值是 ( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
a + a a + a a
【详解】依题意， n+1 n 2 1 n+1a - a = a - a = 2，得 a = 3，则数列 an 是首项为 1，公比为 3的等比数列，所以 an= 1 n+1 n 2 1 n
3 n -1= 3n-1，检验知，当n≥ 6时，36-1= 243> 100成立，所以n的最小值是 6. 故选：C.
8.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在 5道四选一的单选题中有 3道有思路，有 2道完全没有思路，有思路的题
1
目每道做对的概率为 2 ，没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这 5道题目中任选 2题，则该同学 2道题目都
做对的概率为 ( ）
A. 1 B. 7 C. 3 D. 54 32 16 32
【答案】D
1 1
【详解】若该同学从中选到 2道有思路的，则都做对的概率为 ( )22 = 4 ，
1 1 1
若该同学从中选到 1道有思路的和 1道完全没有思路的，则都做对的概率为 2 × 4 = 8 ,
1 1
若该同学从中选到 2道完全没有思路的，则都做对的概率为 ( )24 = 16
所以由全概率公式，若从这 5道题目中任选 2题，则该同学 2道题目都做对的概率为
C2 1 C13 × + 3C
1
2 × 1 C
2
+ 2 × 1 = 3 × 1 + 6 × 1 + 1 × 1 = 3 + 3 + 1 = 25 = 5
C2 4 C2 8 C25 5 5 16 10 4 10 8 10 16 40 40 160 160 32
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数 z满足 zi= 1- i,则下列命题正确的有 ( )
A. z的虚部是-1 B. z = 2
C. z2= 2 D. z是方程 x2+ 2x+ 2= 0的一个根
【答案】ABD
【详解】zi= 1- i z=-1- i，故A,B正确 ; z2= (-1- i)2= 2i ，故C错误;而 (-1- i)2+ 2(-1- i) + 2= 0成立，
故D正确。故选：ABD
10. 在物理学中，把物体受到的力 (总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适
当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 f(x) =Asin(ωx+ φ) (A> 0,ω> 0,|φ| < π)的部分图象如图所示，则
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
下列结论正确的是 ( )
A. ω= 2, 1 π频率为 π，初相为 6
B. π函数 f(x)的图象关于直线 x=- 6 对称
C. 函数 f(x)在 [ π , 13π12 24 ]上的值域为 [0,2]
D. 若把 f(x) 2图像上所有点的横坐标缩短为原来的 3 倍，纵坐标不
π π
变，再向左平移 12 个单位，则所得函数是 y= 2sin 3x+ 12
【答案】BCD
【详解】由图象可得A= 2, 34 T=
13π π 3π
12 - 3 = 4 ，∴T= π
1 1 2π π π
，频率是 T = π，ω= π = 2，∵ f( 3 ) = 2，∴ f( 3 ) =
2sin 2π3 + φ = 2，即 sin
2π
3 + φ = 1 ∴
2π
， 3 + φ= 2kπ+
π
2 (k∈ Z)，∴ φ= 2kπ-
π
6 (k∈ Z)，∵ |φ| < π，∴ φ=
- π6 ，
∴ f(x) = 2sin 2x- π - π6 ，初相是 6 ,故A错误；
f(- π6 ) = 2sin -
π π
3 - 6 =-2,故B正确；
x∈ [ π , 13π ], 2x- π ∈ 0, 11π ∴ f(x) = 2sin 2x- π [ π 13π因为 12 24 所以 6 12 6 在 12 , 24 ]上的值域为 [0,2]，故C正确；
把 f(x) 2 π π的横坐标缩短为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到的函数为 y= 2sin 3x- 6 ，又向左平移 12 个单位，得到
的函数为 y= 2sin π π π 3 x+ 12 - 6 = 2sin(3x+ 12 )，故D正确；
故选：BCD
11.在边长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足AM = xAB+ yAD+ zAA1,(x,y,z∈R且 x≥ 0,y≥ 0,z
≥ 0)，下列说法正确的是 ( )
A. x= 1当 4 ,z= 0,y∈ [0,1]时，B1M+MD的最小值为 13
B. 当 x= y= 1,z= 12 时，异面直线BM与CD
10
1所成角的余弦值为 5
C. x+ y+ z= 1 AM= 2 5 4 2π当 ，且 3 时，则M的轨迹长度为 3
D. 当 x+ y= 1,z= 0时，AM与平面AB1D 61所成角的正弦值的最大值为 3
【答案】AD
1 1
【详解】对于A，在AB上取点H，使AH = 4 AB，在DC上取点K，使DK = 4 DC，因为AM =
xAB+ yAD x= 1， 4 ，y∈ 0,1 ，所以M点在线段HK上，将平面B1HKC1与平面AHKD沿着
HK展开到同一平面内，如图 1所述，连接B1D，交于HK于点P，此时B1,P,D三点共线，B1P+
2
PD 5 5 1取得最小值，由勾股定理得B1H= 22+ 32 = 2 ，则AB1= 2 + 2 = 3，B D= 2
2
1 + 32
= 13，所以A正确。
1
对于B，因为 x= y= 1,z= 2 ，所以M为CC1的中点，连接BM，取C1D1中点N，连接MN ,BN ,
所以∠BMN为异面直线BM与CD1所成角 (或其补角)，易得MN= 2 ,BM= 5 ,BN= 3,所以由余弦定理得：
( 5 )2+ ( 2 )2- 32
cos∠BMN= =- 1010 ,所以异面直线BM与CD1所成角的余弦2 5 2
10
值为 10 ，所以B错误。
对于C，当 x+ y+ z= 1时，可得点M的轨迹在△A1BD内 (包括边界)．易知AC1⊥
4
平面A1BD，设AC1与平面A1BD相交于点P．由于VA-A BD=V1 A1-ABD= 3 ，则点A
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
4
A BD AP= 3 = 2 3 2 5到平面 1 的距离为 3 ．若AM= 3 ，则MP=
2 2
3 ，即点M的轨迹是以P1 3 2
3 × 4 × (2 2 )
2 2
为圆心， 3 为半径的圆，如图所示，法一：圆心P到△A1EP
6
三边距离为 3 <
2 2
3 ,故M的轨迹是以P为圆
2 2 4 2π 2 6
心， 3 为半径的圆的一部分，轨迹长度比小于圆周长 3 ,故C错误．法二：在△A1EP中，A1P= 3 ，PE
= 2 23 ,∠EA P=
π
，设A E= x> 0，由余弦定理得 x2+ 81 6 1 3 - 2x
2 6 3 8 2 2
3 2 = 9 ，解得A1E= 3 =PE，则
∠A PE=∠EA P= π1 1 6 ，所以M
π 2 2
的轨迹长度为 6 × 6× 3 =
2 2π
3 ，故C错误．
对于D，因为B1D1 BD，BD 平面AB1D1，因为M∈BD，点M到平面AB1D1的距离等于点B到平面AB1D1的
1 1 1 4
距离，设点B到平面AB1D1的距离 d，则VB-AB D =VD -ABB，VD -ABB = 3 S△ABB A1D1= 3 × 2 × 2× 2× 2= 易1 1 1 1 1 1 1 3
知△AB1D 31是边长为 2 2 的等边三角形，则S 2△AB D = 4 × 2 2 = 2 3，1 1
1 1
由VB-AB D = 3 S△AB D d= 3 × 2 3d=
4
3 ，解得 d=
2 3
3 ，因为AM = xAB+ yAD,x+ y= 1，所以M在线段1 1 1 1
BD上运动，则当点M为线段BD的中点时，AM取最小值 2，设直线AM与平面AB1D1所成角为 θ，则 sinθ=
2 3 2 3
d = 3 ≤ 3 = 63 ，D对.AM AM 2
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量 a= 1,m ,b= 3, -1 .若 2a - b a + 2b ，则实数m的值为 .
1
【答案】- 3
【详解】因为 a= 1,m ,b= 3, -1 ，所以 2a- b= -1,2m+ 1 ,a+ 2b= 7,m- 2 . 2a - b a 又 + 2b ，所以
- m- 2 - 7 2m+ 1 = 0 m=- 1 1 ，解得 3 .故答案为：- 3 .
5
13.已知 ax+ 1x 2x-
1
x (a为常数)的展开式中所有项的系数和为 32，则展开式中 x
2的系数为 (用数
字作答)
【答案】15
【详解】令 x= 1，则 a+ 1 5 = 32，即 a= 1 x+ 1
5 k
，则对 x ，有Tk+1=C
k
5x
5-k 1x =C
k 5-2k
5x ，令 5- 2k= 1，即 k= 2，
有T 23=C5 x= 10x，即有T3× 2x= 20x2，令 5- 2k= 3,即 k= 1，有T 1 3 32=C5 x = 5x ，即有T2× - 1x =-5x
2,故展
开式中 x2的系数为 15
14.已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项
是 20，21，22，依此类推，若该数列的前 n项和为 Sn,若 log2(Sn) ∈ Z ,n ∈ N*,则称 (n, log2(Sn))为“好数对”，如
log2(S1) = log220= 0，log2(S2) = log 122 = 1,则 (1,0),(2,1)都是“好数对”，当 n≥ 66时，第一次出现的“好数对”是
.
【答案】(95,14)
【详解】若 log2(Sn) ∈ Z,则Sn为 2的整数幂，将数列排成如下的形式
1
1，2
1，2，4
1，2，4，8
k
第 k行为：20，21 k-1 1× (1- 2 )， ，2 ，第 k行和为 k1- 2 = 2 - 1，
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
+ + + + = k(k+ 1)该数列前 1 2 3 k 2 项的和为S
1
k(k+1)= (2 - 1) + (22- 1) + + (2k- 1) = 2k+1- k- 2
2
k(k+ 1)
令 2 ≥ 66, ∴ k≥ 11,此时 k+ 2< 2
k+1, ∴ k+ 2是第 k+ 1行的部分项之和，即 k+ 2= 1+ 2+ +2t= 2t- 1
则 k= 2t- 3≥ 11, ∴ ≥ , = (1+ 13) × 13t 4 此时 k 24- 3= 13,所以n的最小值为 2 + 4= 95,此时S = 2
14
95 ,
log2(S95) = 14, ∴当n≥ 66时，第一次出现的“好数对”是 (95,14)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b, a- b = sinA- sinCc，已知 c ．sinA+ sinB
(1)求角B的大小；
(2)若 b= 2，求△ABC周长的最大值．
π
【答案】(1)B= 3 ；(2)6
( ) a- b = sinA- sinC a- b【详解】 1 根据 c 及正弦定理，得 c =
a- c
+ ， 2分sinA+ sinB a b
得 a2+ c2- b2= ac，
2 2 2
根据余弦定理，得 cosB= a + c - b = ac 12ac 2ac = 2 ， 4分
又B∈ 0,π π ，所以B= 3 ． 6分
(2)由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accosB = 4, 8分
由基本不等式得 (a+ c)2= 4+ 3ac≤ 4+ 3( a+ c )22 , 10分
所以 a+ c≤ 4,当且仅当 a= c= 2时取等。 12分
所以△ABC周长的最大值为 6. 13分
a b c 4
法二：由正弦定理 = = = 8分
sinA sinB sinC 3
4
得 a+ c= (sinA + sinC ) = 4 [sinA + sin(A+ π )] = 43 (
3
2 sinA +
3
2 cosA) = 4(
3 1
2 sinA + 2 cosA)3 3 3
= 4sin(A+ π6 ) ≤ 4， 11分
π
当且仅当A= 3 时等号成立. 12分
故△ABC周长的最大值为 6. 13分
16.（15分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取
了男、女同学各 100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值 α= 0.001的 χ2独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有
关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了 2名男生和 1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投进的概率均
3 2
为 4 ，这名女生投进的概率为 3 ，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求 3人投进总次数X的分布列和数学期
望.
n ad- bc 2
附：χ2=
a+ b c+ d a+ c b+ d
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13
【答案】(1)见解析；(2)分布列见解析，数学期望为 6 .
【详解】(1)依题意，2× 2列联表如下：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
2分
零假设H0：该校学生喜欢篮球与性别无关，
2= 200(60× 70- 30× 40)
2
χ 200100× 100× 90× 110 = 11 ≈ 18.182> 10.828= x0.001， 6分
根据小概率值 α= 0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关。 7分
(2)依题意，X的可能值为 0,1,2,3， 8分
P(X= 0) = 1- 3
2
4 × 1-
2
3 =
1
48 ， 9分
P(X= 1) =C12× 3 1- 3
2
4 4 × 1-
2
3 + 1-
3 × 2 = 14 3 6 ， 10分
P(X= 22) =C1× 3 1- 3 × 2 + 32 4 4 3 4 × 1-
2 7
3 = 16 ， 11分
P(X= 3) = 3
2
4 ×
2
3 =
3
8 ， 12分
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 1 7 348 6 16 8
1 1 7 3 13
数学期望E(X) = 0× 48 + 1× 6 + 2× 16 + 3× 8 = 6 . 15分
17.（15分）在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=
2π
3 ,EF∥平面ABCD,AB= 2EF= 2，点M为BC中点.
(1)证明：EM∥平面BDF；
(2)已知EM= 2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值.
【详解】(1)连接AC交BD于点O，连接OM ,OF，
又EF∥平面ABCD,EF 平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，故EF∥AB, 3分
O为AC的中点，点M为BC中点，则OM∥AB∥EF，
OM= 12 AB=EF，故四边形OMEF为平行四边形，则EM∥OF， 5分
EM 平面BDF，OF 平面BDF，故EM∥平面BDF； 6分
法二：取CD的中点G，连接GM ,GE，
又EF∥平面ABCD,EF 平面ABEF，平面ABCD∩平面CDEF=
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
CD，故CD∥EF. 3分
又G为CD的中点，则DG EF,故四边形DGEF为平行四边形,则DF∥GE,
GE 平面BDF,DF 平面BDF,故EG∥平面BDF；
点M为BC中点，则GM∥BD,GM 平面BDF,BD 平面BDF,故GM∥平面
BDF；
EG∩GM=M ,EG,GM 平面EMG，故平面EMG∥平面BDF 5分
又EM 面EMG, ∴EM∥平面BDF 6分
(2)由 (1)可知，OF=EM= 2，取AD中点N，连接FN ,ON ,BN，在△ONF中，FN= 3 ,ON= 1,OF= 2，则FN 2
+ON 2=OF 2，
所以ON⊥FN，
因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN，又AD∩ON=N ,AD,ON 平面ABCD，则FN⊥平面ABCD，
BN 平面ABCD，故FN⊥BN；
因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，因为AD∩FN=N ,AD,FN 平面ADF，所以BN⊥平面ADF，
以N为原点，分别以NA,NB,NF所在直线为 x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系N- xyz， 8分
则A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(-2, 3 ,0),E - 1 , 32 2 , 3 ，F(0,0, 3 ),D(-1,0,0),
3 3
则CB= (2,0,0),CE= 2 , - 2 , 3 ,AB= (-1, 3 ,0)， 9分
设平面BEC的法向量为m= (x,y,z)，
m
CB= 0 2x= 0
则 ，即 3 - 3 + = ，令 z= 1，则 y= 2 m
，故 = (0,2,1)， 11分
m CE= 0 2 x 2 y 3z 0
BD= (-1, - 3 ,0),DF = (1,0, 3 ), 设平面BDF的法向量为n= (a,b,c)，
n BD= 0 -a- 3b= 0 则 ，即 + = ，令 a= 3，得平面BDF的法向量n= 3 , -1, -1 ， 13分n DF = 0 a 3c 0
故 cos m ,n = m n = -2- 1 =- 3 3 ，由于平面BDF与平面BEC所成二面角为 θ∈ 0,π ，则 cosθ = ，所以|m||n | 5 5 5 5
平面BDF 4与平面BEC所成二面角的正弦值为 sinθ= 1- cos2θ= 5 . 15分
18.（17分）已知函数 f x = lnx- ax+ a,g(x) = x- 1 ex-a- ax+ 1 a∈R .
(1)若 f x ≤ 0,求 a的值；
(2)当 a∈ 0,1 时，证明：g(x)≥ f x .
【答案】(1)a= 1;(2)见详解。
【详解】(1)法一;∵ f 1 = 0，∴ f x ≤ 0= f 1 1分
∴ 0是 f(x)的最大值点，故也是 f(x)的极大值点，f '(1) = 0 3分
又 f '(x) = 1x - a, ∴ f '(1) = 1- a= 0 a= 1是 f x ≤ 0的必要条件 5分
下证充分性：当 a= 1时 f x ≤ 0恒成立
当 a= 1时，f x = lnx- x+ 1,f '(x) = 1x - 1=
1- x
x ，
当 x∈ 0,1 时，f '(x)> 0；当 x∈ 1, +∞ 时，f '(x)< 0，
所以函数 y= lnx- x+ 1在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减。
所以 f x ≤ f 1 = 0
综上可知：a= 1 7分
,x∈ (0, +∞),f (x) = 1 - a= 1- ax法二：由题意知 x x , 1分
当 a≤ 0时,f (x)> 0,f(x)在 (0, +∞)上单调递增, ∴当 x∈ (1, +∞)时,f(x)> f(1) = 0,不符合题意; 3分
当 0< a< 1 , 1时 > 1由 f a (x)> 0,得 x∈ (0,
1
a ),则 f(x)在 (0,
1 1
a )上单调递增,所以 f( a )> f(1) = 0,不符合题
意; 4分
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
当 a= 1时,由 f (x)> 0,得 x∈ (0,1),则 f(x)在 (0,1)上单调递增,由 f (x)< 0,得 x∈ (1, +∞),则 f(x)在 (1, +∞)
上单调递减,所以对于任意的 x∈ (0, +∞),f(x)≤ f(1) = 0,符合题意; 5分
当 a> 1时, 1a < 1, f
(x)< 0, x∈ ( 1由 得 a , +∞),则 f(x)在 (
1
a , +∞)
1
上单调递减,所以 f( a )> f(1) = 0,不符合题
意. 6分
综上所述,a= 1. 7分
法三：由题意得 lnx≤ a(x- 1),x> 0.
当 x= 1时，lnx= a(x- 1)恒成立，∴ a∈R； 1分
当 x> ≥ lnx1时，a x- 1 , 2分
令F( ) = lnxx x- 1 ,
x- 1- xlnx
F (x) = ,
x(x- 1)2
令m(x) = x- 1- xlnx, ∴当 x> 1时，m (x) =-lnx< 0,
m(x)在 (1, +∞)上单调递减，m(x)F (x)< 0,F(x)在 (1, +∞)上单调递减，
lnx 1
由洛必达法则：lim -x- 1 = lim x = 1 ,所以F(x)< 1, ∴ a≥ 1； 4分x→1+ x→1+
lnx
当 0< x< 1时，a≤ x- 1 ,
lnx
令F(x) = ,F ( ) = x- 1- xlnxx- 1 x ,x(x- 1)2
令m(x) = x- 1- xlnx, ∴当 x> 1时，m (x) =-lnx> 0,
m(x)在 (0,1)上单调递增，m(x)F (x)< 0,F(x)在 (0,1)上单调递减，
lnx 1
由洛必达法则：lim x- 1 = lim x = 1
+,所以F(x)> 1,所以 a≤ 1； 6分
x→1- x→1-
综上所述，a= 1. 7分
(2)法一：要证 g(x)≥ f x 即证 g x - f(x)≥ 0. 8分
记 h x = g x - f(x) = x- 1 ex-a- lnx+ 1- a x> 0 h x = xex-a- 1 ，所以 x， 9分
令 φ x = xex-a- 1x，x∈
1
0, +∞ ，所以 φ x = 1+ x ex-a+ 2 > 0，所以 φ x 即 h x 在 0, +∞ 上单调递增.x
10分
1 1-a
又 a∈ 0,1 ，∴ h 2 =
1 e 2 - 2< 0，h 1 = e1-a2 - 1≥ 0，∴ x ∈
1
0 2 ,1
，使得 h
x0 = 0，即 x ex0-a= 10 x ，0
ex0-a所以 = 1 ，x - a=-2lnx ， 11分
x2 0 00
所以当 x∈ 0,x0 ，h x < 0，h x 单调递减,当 x∈ x0, +∞ ，h x > 0，h x 单调递增，所以 h x min= h x0 =
x0-
x - 1
1 e
x0-a- lnx + 1- a= 00 2 - 3lnx0- x0+ 1. 13分x0
由 (1)知 lnx≤ x- 1，故-lnx0≥- x0- 1 ， 15分
x - 1 1- x 2x - 1 2x + 1
所以 h x0 ≥ 0 2 - 3 x0- 1 - x0+ 1=
0 0 0
2 . 16分x0 x0
又 x0∈ 1 2 ,1 ，所以 h x0 ≥ 0,故原不等式得证。 17分
法二：要证 g(x)≥ f x 即证 g x - f(x)≥ 0. 8分
记 h x = g x - f(x) = x- 1 ex-a- lnx+ 1- a x> 0 1 ，所以 h x = xex-a- x， 9分
令 φ x = xex-a- 1x，x∈ 0, +∞ ，所以 φ
x = 1+ x ex-a+ 12 > 0，所以 φ x 即 h x 在 0, +∞ 上单调递增.x
10分
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
a∈ 0,1 ∴ h 1 = 1
1-a
e 2 - 2< 0 h 1 = e1-a- 1≥ 0 ∴ x ∈ 1又 ， 2 2 ， ， 0 2 ,1 ，使得 h x
x -a 1
0 = 0，即 x0e 0 = x ，0
所以 ex0-a= 12 ，x0- a=-2lnx0， 11分x0
所以当 x∈ 0,x0 ，h x < 0，h x 单调递减,当 x∈ x0, +∞ ，h x > 0，h x 单调递增，所以 h x min= h x0 =
- x -a- + - = x - 1 x 1 e 00 lnx0 1 a 0 2 - 3lnx0- x0+ 1. 13分x0
2
( ) = x- 1 - - + ( ∈ 1 , ), ∴ '( ) =- 1 + 2 - 3 - = - (x+ 2) (x + x- 1)记 t x 2 3lnx x 1 x 2 1 t x 2 3 x 1 3 15分x x x x
∴ x∈ ( 1 , 5- 1 )时，x22 2 + x- 1< 0, ∴ t'(x)> 0,，x∈ (
5- 1 2
2 ,1)时，x + x- 1> 0,t'(x)< 0,
∴ t(x) ( 1 , 5- 1 5- 1在 2 2 )单调递增，在 ( 2 ,1)单调递减
t( 1由于 2 ) = 3ln2- 1> 0,t(1) = 0, ∴ x∈
1
2 ,1
时，t(x)≥ 0, ∴ h x min= h x0 ≥ 0
故 h x ≥ 0，原不等式得证 17分
法三：主元法
要证 g(x)≥ f x 即证 g x - f(x)≥ 0. 8分
记 h x = g x - f(x) = x- 1 ex-a- lnx+ 1- a x> 0 ,
以 a为主元，记u(a) = x- 1 ex e-a- a- lnx+ 1 0< a≤ 1 10分
x -a -e
a- x- 1 ex
∴u'(a) =- x- 1 e e - 1=
ea
记 p(a) =-ea- x- 1 ex, ∴ p(a)在 0< a≤ 1单调递减，故 p(a)< p(0) =-1- (x- 1)ex 12分
记 q(x) =-1- (x- 1)ex, ∴ q'(x) =-xex< 0, ∴ q(x)在 (0, +∞)上递减，又 q(x)< q(0) = 0, ∴ p(a)< 0
∴u'(a)< 0, ∴u(a)在 (0,1]上递减，∴u(a)≥u(1) = x- 1 ex-1- lnx 14分
记Q(x) = x- 1 ex-1- lnx,下面只需证Q(x)≥ 0
∴Q'(x) = xex-1- 1 x-1 1x ,Q''(x) = (x+ 1)e + 2 > 0, ∴Q'(x)在 (0, +∞)上递增，又Q'(1) = 0x
∴ x∈ (0,1)时Q'(x)< 0,x∈ (1, +∞)时Q'(x)> 0, ∴Q(x)在 (0,1)上递减，在 (1, +∞)上递增
∴Q(x)≥Q(1) = 0,原不等式得证. 17分
19.（17分）已知曲线Γ:x2= 4y.
(1)若点T(t,s)是Γ t上的任意一点,直线 l:y= 2 x- s,判断直线 l与Γ的位置关系并证明.
(2)若E是直线 y=-1上的动点,直线EA与Γ相切于点A,直线EB与Γ相切于点B.
①试问∠AEB是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
|EB| |AB|
②若直线EA,EB与 x轴分别交于点C,D证明: |EC| = |CD|
(1)将 y= t2 x- s代人 x
2= 4y,得 x2- 2tx+ 4s= 0. 2分
∴Δ= 4t2- 16s= 0, 3分
∴直线 l与Γ相切 4分
2 2 2 2
(2) x法一①：设A(x , 1 ),B( x x xx , 2 ),由（1）知切线AE为 y= 1 x- 1 , xBE为 y= 2 - xx 21 4 2 4 2 4 2 4 , 5分
x x
联立得 y 1 2E= 4 , 7分
x x
又E在直线 y=-1上，故 1 24 =-1, 8分
∴ = x1 x1 = xk k 1x2AE BE 2 2 4 =-1, 9分
故EA⊥EB,故∠AEB= 90° 10分
x22 - x
2
1
②设A x1,y1 ,B x2,
y - y x + x
y2 , 直线AB的斜率为K, 倾斜角为 θ,则K= tanθ= 2 1 = 4 4 1 2x - x x - x = 4 11分2 1 2 1
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
不妨设直线EA的斜率 k1> 0, 倾斜角为 θ1,直线EB的斜率 k2< 0, 倾斜角为 θ2,
x
所以 tan∠ECD= tanθ = 11 2 ,
x
tanθ = 22 2 13分
-4
x + x x x - x x1-1 2 2 1 2 x1
∠ = - = tanθ- tanθ
-
tan EBA tan θ θ 2
4 2 4
2 + = x + x x = 2 =
4 x1
1 tanθ tanθ2 + 1 2 2 x1x2+ x2 -4+ (-4
=
)2 2
,
1 4 2 1+ 8 1+ x18
则 tan∠EBA= tan∠ECD, 所以∠EBA=∠ECD, 15分
又EA⊥EB, 所以 RtΔEBA RtΔECD,
|EB| = |AB|所以 | | | | , 得证. 17分EC CD
法二①设E(m, -1),设过点E的直线为 y+ 1= k(x-m),与 x2= 4y联立,得 x2- 4kx+ 4km+ 4= 0, 6分
则Δ= 16k2- 16(km+ 1) = 0即 k2- km- 1= 0, 7分
设直线EA,EB的斜率分别为 k1,k2, ∴ k1,k2是方程 k2- km- 1= 0的两根
则 k1k2=-1,k1+ k2=m, 9分
故EA⊥EB,故∠AEB= 90°. 10分
x22 - x
2
1
y - y x + x
②设A x1,y1 ,B x2,y2 , 直线AB的斜率为K, 倾斜角为 θ,则K= tanθ= 2 1 = 4 4 = 1 2x2- x1 x2- x1 4
, 11分
由 x2- 4kx+ 4km+ 4= 0有唯一解, 可得解为 x= 2k,可得 x1= 2k1, 同理可得 x2= 2k2,
= x1+ x2 = 2k + 2k所以K 1 24 4 =
m
2 , 12分
不妨设直线EA的斜率 k1> 0, 倾斜角为 θ1,直线EB的斜率 k2< 0, 倾斜角为 θ2,
所以 tan∠ECD= tanθ1= k1, 13分
m
∠ = - = tanθ- tanθtan EBA tan θ θ 2 = 2
- k2
2 + =
m- 2k2 ,
1 tanθtanθ2 + mk2 2+mk1 22
m- 2k2 m- 2k2- k 2+mk所以 tan∠EBA- tan∠ECD= + - =
1 2 k1 + =
2m- 2m
2 mk2 2 mk2 2+
= 0,
mk2
则 tan∠EBA= tan∠ECD, 所以∠EBA=∠ECD, 15分
又EA⊥EB, 所以 RtΔEBA RtΔECD,
|EB| |AB|
所以 | | = | | , 得证. 17分EC CD
{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}
