13.2.3 直线与平面的位置关系 课件(共88张PPT) 2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册

(共88张PPT)
高中数学苏教版必修第二册
第13章　立体几何初步
13.2 基本图形位置关系
13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时　直线与平面平行
课标阐释
1.理解直线与平面平行的判定定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.(几何直观、数学抽象)
2.理解直线与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.(几何直观、数学抽象)
3.能运用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理证明一些空间中相关的平行问题.(逻辑推理)
思维脉络
【激趣诱思】
懂得欣赏门之景的人,是胸中有丘壑、富有艺术情趣的人.善于把握自己心灵之门又能叩开他人心门的人是睿智的,其生命是丰富多姿的……一生始终为自己寻找一道道门、努力越过一道道槛的人,是真正热爱生活、生活得充实又辉煌的人.同学们,请你打开你的智慧之门思考一道与门有关的话题:观察开门与关门时,门的两边是什么位置关系.当门绕着一边转动时,门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系 为什么
【知识梳理】
一、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
符号语言
图形语言
名师点析 1.线面平行的判定定理的条件可概括为“面外一条直线,面内一条直线,两直线平行”,该定理的作用是判定或证明直线与平面平行.
2.线面平行的判定定理要注意和线面平行的定义区分,定义是从有无公共点的角度描述的,而判定定理是借助线线平行刻画线面平行,将原问题进行了降维处理,两者都能进行线面平行的证明,但大多条件下用判定定理进行线面平行的证明.
微思考
如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗
提示 不一定,直线a可能在平面α内.
微判断
(1)若直线l与平面α内的无数条直线不平行,则直线l与平面α不平行.(　　)
(2)若直线l与平面α内的无数条直线平行,则直线l与平面α平行.(　　)
×
×
微练习
能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A.b α,a∥b
B.b α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a α,b α,a∥b
答案 D
二、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
符号语言 l∥α,l β,α∩β=m l∥m
图形语言
名师点析 正确理解线面平行的性质定理:
(1)直线与平面平行的性质定理中有三个条件:①直线l和平面α平行,即l∥α;②平面α,β相交,即α∩β=m;③直线l在平面β内,即l β.这三个条件缺一不可.
(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.
(3)在应用线面平行的性质定理时,往往会出现这样的易错点:“l∥α,m α,所以l∥m”,所以在应用时要谨慎.
(4)线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用:先通过线线平行找出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,其关系可用以下关系链表示.
微判断
(1)若直线a与平面α不平行,则a与α相交.(　　)
(2)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.(　　)
(3)若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(　　)
×
×
×
微练习
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　)
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
答案 B
解析 由于MN∥平面PAD,而平面PAC经过直线MN且与平面PAD相交于直线PA,由线面平行的性质定理得MN∥PA.故选B.
探究一
直线与平面平行的判定
例1(1)如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(　　)
A.相交 B.b∥α C.b α D.b∥α或b α
(2)如图所示,已知直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点,求证:MF∥平面ABCD.
分析本题可在平面ABCD中找到一条与MF平行的直线来证明线面平行.
(1)答案 D
解析 由a∥b且a∥α,知b∥α或b α.
(2)证法一连接AC,BD交于点O,再连接OM,如图所示,则OM∥D1D,
且OM= D1D.
∴OM∥AF,且OM=AF,
∴四边形MOAF是平行四边形,
∴MF∥OA.
又OA 平面ABCD,MF 平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
证法二如图所示,连接D1F并延长交DA的延长线于点E,连接BE,
在△D1DE中,∵AF∥DD1,且AF= DD1,
∴F是D1E的中点,∴FM是△BED1的中位线,∴FM∥BE.
∵BE 平面ABCD,MF 平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
反思感悟 1.证明线面平行的关键是证明线线平行,通常利用平行四边形、中位线、平行公理等来证明,辅助线要根据题中所给点的位置关系来确定.
2.直线与平面平行的判定定理的应用步骤
其中,在平面α内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出.
变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PC中点,求证:EF∥平面PAD.
证明 如图,取PD的中点G,连接FG,AG.
因为PF=CF,PG=DG,
所以FG∥CD,且FG= CD.
又因为四边形ABCD是平行四边形,且E是AB的中点.
所以AE∥CD,且AE= CD.
所以FG∥AE,且FG=AE,
所以四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG.
又因为EF 平面PAD,AG 平面PAD,所以EF∥平面PAD.
探究二
直线与平面平行的性质及其应用
例2如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
分析根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根据线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.
证明 因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理,可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
反思感悟 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
延伸探究 2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解 由例2知,四边形MNPQ是平行四边形,
∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.
∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,
∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
探究三
线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例3求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
分析先写出已知求证,再借助线面平行的性质定理与判定定理求解.
解 已知:a,l是直线,α,β是平面.
a∥α,a∥β,且α∩β=l.
求证:a∥l.
证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A l.
∵a∥α,∴A a.故点A和直线a确定一个平面γ,
设γ∩α=m.
同理,在平面β内任取一点B,且使B l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.
∵a∥α,a γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.
又m β,n β,∴m∥β.
∵m α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.
要点笔记 利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.
延伸探究 若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.
解 三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,
∵l∥m,m γ,l γ,∴l∥γ.
又l α,α∩γ=n,∴l∥n.
又l∥m,∴m∥n,
即直线l,m,n相互平行.
素养形成
思想方法——平行中的探索存在性问题
典例 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC 若存在,请指出M点位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
解 存在,M为线段AB的中点,证明如下:
如图,取线段AB的中点为M,
连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.
由已知得,O为AC1的中点,连接MD,OE,
则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC且MD= AC,OE∥AC且OE= AC,
因此MD∥OE且MD=OE.
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC,MO 平面A1MC,
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
方法点睛 (1)平行中探索存在性问题的判定,多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行,注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系,当题目中有中点时,一般考虑先探索中点,再用中位线定理找平行关系.
(2)掌握推理的基本形式和规则,探索和表述论证过程,有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.
高中数学苏教版必修第二册
第13章　立体几何初步
13.2 基本图形位置关系
13.2.3 直线与平面的位置关系
第2课时　直线与平面垂直
课标阐释
1.了解直线与平面垂直的概念及性质.(数学抽象)
2.掌握直线与平面垂直的判定定理.(逻辑推理)
3.借助长方体,通过直观感知,归纳出点面、线面距离,斜线在平面内的射影及线面角的概念.(几何直观)
4.理解点到平面的距离的概念,会求简单的点面距离.(数学抽象、数学运算)
5.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念,会求简单的线面角.(数学抽象、数学运算)
思维脉络
【激趣诱思】
大家制作一个三角形硬纸片,然后按照下面的步骤操作,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).如图所示.
问题一:此时的折痕AD与桌面垂直吗
问题二:如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面垂直呢 由此你能得出什么结论
【知识梳理】
一、直线与平面垂直
定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直
记法 a⊥α
有关 概念 直线a叫作平面α的垂线,平面α叫作直线a的垂面.垂线和平面的交点称为
垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
名师点析 直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.
微判断
(1)若直线l与平面α内的所有直线垂直,则l⊥α.(　　)
(2)若a⊥b,b⊥α,则a∥α.(　　)
√
×
微思考
直线与平面垂直定义中“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”
提示 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言 “两条相交直线”不能改为“两条直线”
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m α,n α,则a⊥α
图形语言
名师点析 (1)要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.
(2)定理体现了相互转化的数学思想,即由线线垂直转化为线面垂直.
微练习
若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　)
A.平面OAB
B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
答案 C
解析 ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC 平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
三、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行
②作平行线
直线与平面垂直的性质定理揭示了平行与垂直之间的内在联系.根据此性质定理可知,过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有
一个平面与已知直线垂直.
微练习
如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是　　　　(填序号).
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
答案 ①③
解析 由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面,对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
微思考
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗
提示 垂直.
四、点面、线面距离
(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.
(2)直线到平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离.
微练习
直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为　　　　.
答案 2
五、直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交,但不和这个平面 垂直,图中直线PQ
斜足 斜线和平面的交点,图中点Q 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面内的射影,图中斜线段PQ在平面α内的射影为线段QP1 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角
名师点析 1.一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线与平面平行或在平面内,它们所成的角是0°角.
2.斜线在平面内的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
3.直线与平面所成的角θ的取值范围是[0, ].
微练习
若斜线段AB是它在平面α的射影长的2倍,则直线AB与平面α所成的角为(　　)
A.30°　　　B.45°C.60° D.75°
答案 C
解析 设直线AB与平面α所成的角为β,根据题意,cos β= ,所以AB与平面α所成的角为60°.
微思考
若直线l与平面α所成的角是0°角,则必然有l∥α吗
提示 不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角,则l∥α或l α.
探究一
线面垂直概念的理解
例1下列说法中,正确的序号是　　　　.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
答案 ④⑤
解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确.故填④⑤.
反思感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直,即若a⊥α,b α,则a⊥b.
变式训练1设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若l⊥m,m α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
答案 B
解析 对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面.
探究二
直线与平面垂直的判定定理
例2如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明 (1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,
∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD 平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,SD∩AC=D,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.∴BD⊥平面SAC.
技巧方法 1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
所以OH=1,D'H=DH=3,
于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.
又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EF 平面ABCD,
所以D'H⊥平面ABCD.
探究三
直线与平面垂直的性质定理
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.
证明 因为AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,
所以AE⊥AB.
又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.
技巧方法 证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.
变式训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
证明 如图所示,连接AB1,B1D1,B1C,BD,
∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,DD1,BD 平面BDD1B1,
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
探究四
线面垂直的综合题
角度1　证线面垂直
例4如图,
已知空间四边形ABCD的边AC=BC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.
证明 如图,取AB的中点F,连接CF,DF,AE.
由AC=BC,知CF⊥AB.由AD=BD,知DF⊥AB,
因为CF∩DF=F,CF 平面CDF,DF 平面CDF,
所以AB⊥平面CDF.
又CD 平面CDF,所以CD⊥AB.
又CD⊥BE,BE∩AB=B,BE 平面ABE,AB 平面ABE,
所以CD⊥平面ABE.
因为AH 平面ABE,所以CD⊥AH.
因为AH⊥BE,CD∩BE=E,
CD 平面BCD,BE 平面BCD,所以AH⊥平面BCD.
角度2　证线线垂直
例5如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.
证明 (1)∵SA⊥平面AC,BC 平面AC,
∴SA⊥BC.
∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,且SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.
又AE 平面SAB,∴BC⊥AE.
又SB⊥AE,且SB∩BC=B,
∴AE⊥平面SBC.
∵SC 平面SBC,∴AE⊥SC.
又EF⊥SC,且AE∩EF=E,
∴SC⊥平面AEF.
又AF 平面AEF,∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,DC 平面AC,∴SA⊥DC.
又AD⊥DC,SA∩AD=A,
∴DC⊥平面SAD,而AG 平面SAD,∴DC⊥AG.
由(1)有SC⊥平面AEF,AG 平面AEF,
∴SC⊥AG且SC∩CD=C,
∴AG⊥平面SDC,SD 平面SDC,∴AG⊥SD.
角度3　证线线平行
例6如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.
证明 因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
反思感悟 1.证线面垂直的方法:
(1)线线垂直证明线面垂直:①定义法,不常用,但由线面垂直可得出线线垂直;②判定定理,要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论):
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
2.证明垂直的转化途径:线线垂直→线面垂直→线线垂直.
变式训练4在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,边BC上是否存在点Q,使得PQ⊥QD 为什么
解 ∵PA⊥平面ABCD,QD 平面ABCD,
∴PA⊥QD.
若边BC上存在一点Q,使得QD⊥AQ,又PA∩AQ=A,
则有QD⊥平面PAQ,又PQ 平面PAQ,从而QD⊥PQ.
在矩形ABCD中,当AD=a<2时,直线BC与以AD为直径的圆相离,故不存在点Q,使AQ⊥DQ.
∴当a≥2时,才存在点Q,使得PQ⊥QD.
探究五
点面距离的求法
例7如图,
已知边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求点E到平面PBC的距离.
解 如图,设AC,BD相交于点O,连接EO.
∵E为PA的中点,O为AC的中点,∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC,PC 平面PBC,∴EO∥平面PBC,
∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离.
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G.∵PC⊥平面ABCD,OG 平面ABCD,∴PC⊥OG.又PC∩BC=C,
∴OG⊥平面PBC,∴OG的长即为所求距离.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴OB⊥AC,∠CBD=∠ABD=30°,
∴OB=AB·cos∠ABD=a×cos 30°= ,
∴OG=OB·sin∠OBC= a×sin 30°= a,
即点E到平面PBC的距离为 a.
规律方法求点到平面距离的步骤
(1)作(或找)出点到平面的垂线段的垂足,并证明线面垂直.
(2)求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离.
(3)在平面图形中(一般为三角形)计算所求线段的长.
(4)下结论:给出所求距离.
简记为“一作,二证,三求,四答”.
变式训练5如图,
正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AD,AB边的中点,GC⊥平面AC,GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解 如图,连接AC,BD交于点O,EF交AC于点M,连接GM,在△GCM中作OH⊥MG于点H.
∵E,F分别为AD,AB的中点,
∴EF∥BD.
又EF 平面GEF,BD 平面GEF,
∴BD∥平面EFG.
∵EF⊥AC,GC⊥EF,AC∩GC=C,
∴EF⊥平面MGC.
又OH 平面MGC,∴EF⊥OH.
又OH⊥GM,GM∩EF=M,
∴OH⊥平面EFG.
∴OH即为点O到平面EFG的距离,即为直线BD到平面EFG的距离,即为点B到平面EFG的距离.
∵四边形ABCD为正方形,AB=4,
探究六
线面距离的计算
例8若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,且侧棱AA1⊥底面ABCD,若底面边长为1,且侧面ABB1A1上的∠B1AB=60°,则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
答案 C
解析 依题意可知∠B1AB=60°,A1C1∥平面ABCD,
∴B1B的长即为A1C1到底面ABCD的距离.由题意知,B1B= .
反思感悟 当直线与平面平行时,直线上每一点到平面的距离相等,因此线面距离转化为点面距离,而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解.
变式训练6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,则直线CC1到平面B1BDD1的距离为(　　)
答案 B
探究七
线面角的求法
例9在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小;
(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.
解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D,
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,
在Rt△A1AB中,∠BAA1=90°,AB=AA1,
∴∠AA1B=45°,
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接BO,
∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,B1D1∩BB1=B1,∴A1O⊥平面BB1D1D,
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,
归纳总结1.求直线和平面所成角的步骤:(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键.几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.
延伸探究 例9的题设条件不变的情况下,求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值.
素养形成
转化与化归思想的应用
典例 设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.
分析要证空间直线AC⊥BD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BD⊥AC转化为证BD⊥EC,BD⊥EA.
证明 如图,取BD的中点E,连接AE,CE.
由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AE⊥BD,CE⊥BD.
∵AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.
∴BD⊥AC.
方法点睛要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用线面垂直的重要性质得出线线垂直.
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