6.3.1 二项式定理 教案

6.3.1 二项式定理教案
【教学目标】
1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；
2.会应用二项式定理求解二项展开式；
3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
【重点难点】
重点： 应用二项式定理求解二项展开式
难点：利用计数原理分析二项式的展开式
一、新课引入
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。
问题1：我们知道
=a2+2ab+b2,
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出的展开式吗？
我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，
问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？
知识探究
学习目标一 知识探究
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
知识点辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)
(2)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)
二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n.
(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
学习目标二 二项式定理的正用和逆用
例1. (1)求的展开式. (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
方法总结
1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
学习目标三 二项式系数和展开项系数
例2.（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数.
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.
三、课堂检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)
(2)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)
2．展开式中共有11项，则n等于 (　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
等于 (　　)
A. B.-1 C. D.1
4. 设的展开式中常数项为A，则A=
5. 的展开式中，含项的系数为
四、课堂小结
作业
教学反思