2023-2024学年北京市人大附中经开区学校高一（上）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北京市人大附中经开区学校高一（上）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-23 11:53:11 | ||
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文档简介
2023-2024学年北京市人大附中经开区学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中是偶函数的是( )
A. B. C. D.
4.若，，，且，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
6.下列四组函数中是同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.函数的一个单调递减区间可以是( )
A. B. C. D.
8.如图为函数和的图像，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.设函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.写出命题：，的否定：______．
12.若函数，则 ．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ______，当时， ______．
14.若不等式的解集为，则不等式的解集为______．
15.已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：
在上单调递减；
存在，使得；
不等式的解集为；
关于的方程的解集中所有元素之和为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，．
求，
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值：
；
18.本小题分
已知函数的图象过点．
Ⅰ求实数的值，并判断函数的奇偶性；
Ⅱ利用单调性定义证明在区间上是增函数．
19.本小题分
已知函数，．
若的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；
求使的自变量的取值范围．
20.本小题分
某工厂分批生产某种产品，若每批生产件，每批产品的生产准备费用为元，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元．
Ⅰ写出关于的函数解析式；
Ⅱ当为何值时，有最小值？最小值是多少？
21.本小题分
对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
判断集合是否是“和谐集”不必写过程；
请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；
当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
由函数解析式列出关于的不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．
本题的考点是求函数的定义域，根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组求出它们的解集的交集即可，属于基础题．
【解答】
解：要使函数有意义，则，解得且，
函数的定义域是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于，因为的定义域为，
又，
所以不是偶函数，故A错误；
对于，因为的定义域为，
又，所以是偶函数，故B正确；
对于，因为的定义域为，
而，，
则，所以不是偶函数，故C错误；
对于，因为的定义域为，
而，，
则，所以不是偶函数，故D错误．
故选：．
利用函数奇偶性的判断方法判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于，时，不成立，
对于，令，，不成立，
对于，根据不等式的基本性质，成立，
对于，令，，不成立，
故选：．
根据特殊值法判断，，，根据不等式的性质判断．
本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
解不等式得或，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得或，
由“”能推出“或”，但“或”推不出“”，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：对于，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，与或的定义域不同，不是同一函数．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出二次函数的对称轴，求出单调递减区间，由此判断即可．
本题考查了二次函数的单调性的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
【解答】
解：函数，
其对称轴为，
所以单调递减区间为，
因为，
所以函数的一个单调递减区间可以是．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：等价于或，
由图可知，或，
故不等式的解集为．
故选：．
找出使与异号的的范围，即可得解．
本题考查函数的图象与性质，不等式的解法，考查数性结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：令，则，
等价于或，
解得，则，
等价于或，
解得，
则实数的取值范围是．
故选：．
先令，解不等式，得到，再解，即可求出结果．
本题主要考查由分段函数的性质求解不等式的方法，分段函数的性质等知识，属于中等题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，函数的定义域为，且值域为，即函数的最小值，最大值为，
又由函数，
当时，可得，
要是函数满足新定义，则满足，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．
利用图象是解答函数值域的最有效手段，本题属于中档题．
11.【答案】，使得
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，
故答案为：，使得．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
使用换元法求出函数的解析式，再将代入进行求解．
【解答】
解：令，则
则
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：；
当时，则，
故；
故答案为：；．
根据题意结合奇函数的定义分析求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：不等式的解集为，
和是方程的两个根，且，
，，，，
，等价于，
，等价于，解得或，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
由题意得，，，进而将所解不等式转化为，再求解即可得到答案．
本题考查一元二次不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，且，所以，
又因为在上单调，，所以在上单调递增，
则当时，单调递减，故正确；
因为在上单调递增，，故此时，则当时，，故错误；
当时，不等式，即，则，
由为偶函数，则不等式的解集为，故正确；
方程可化为，则或，
当时，则，解得或，
当时，则，解得或，
此时，故正确；
故答案为：．
根据条件可得到偶函数在上的单调递增，进而得到在上单调递减，即可判断；
根据单调性以及可判断；
根据奇偶性以及，即可判断；
解出或，结合，，解出，进而可判断．
本题考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为，或，
所以或，
．
因为，
或，
所以．
即的取值范围是．
【解析】由一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的交集和并集运算求解即可；
根据包含关系得出参数的取值范围．
本题考查了集合间的运算以及集合间的包含关系，属于基础题．
17.【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系，
得，
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，将目标式配凑为两根之和和两根之积的形式，即可求得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于容易题．
18.【答案】解：Ⅰ的图象过点，
，
，
，的定义域为，关于原点对称，
又，，
是奇函数
Ⅱ证明：在区间任取，，且，
则
，
又，，，
，
，
即在区间上是增函数．
【解析】本题考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的证明，注意运用定义法，属于基础题．
Ⅰ代入点，求得，再由定义判断奇偶性；
Ⅱ根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证．
19.【答案】解：根据题意，因为，
所以，的图象的对称轴方程为．
由，得；
故，
在区间上，最小值为，最大值为，
即函数在区间上的值域为；
不等式，即为，变形可得 ，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为．
【解析】根据题意，由二次函数的性质可得，求出的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；
根据题意，分三种情况：当时，当时，当时来解不等式，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意可得，为正整数．
，当且仅当，即时等号成立，
故当时，有最小值，最小值为．
【解析】由已知条件，可推得为正整数．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：对于集合，当去掉元素时，剩余的所有元素之和为，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”．
集合是“和谐集”，证明如下：
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有．
所以集合是“和谐集”．
证明：假设集合是“和谐集”，
不妨设，必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
所以假设不成立，
故当时，集合一定不是“和谐集”．
【解析】根据定义，判断集合不是“和谐集”；
写出集合，利用定义证明即可；
假设集合是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．
本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中是偶函数的是( )
A. B. C. D.
4.若，，，且，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
6.下列四组函数中是同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.函数的一个单调递减区间可以是( )
A. B. C. D.
8.如图为函数和的图像，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.设函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.写出命题：，的否定：______．
12.若函数，则 ．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ______，当时， ______．
14.若不等式的解集为，则不等式的解集为______．
15.已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：
在上单调递减；
存在，使得；
不等式的解集为；
关于的方程的解集中所有元素之和为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，．
求，
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值：
；
18.本小题分
已知函数的图象过点．
Ⅰ求实数的值，并判断函数的奇偶性；
Ⅱ利用单调性定义证明在区间上是增函数．
19.本小题分
已知函数，．
若的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；
求使的自变量的取值范围．
20.本小题分
某工厂分批生产某种产品，若每批生产件，每批产品的生产准备费用为元，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元．
Ⅰ写出关于的函数解析式；
Ⅱ当为何值时，有最小值？最小值是多少？
21.本小题分
对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
判断集合是否是“和谐集”不必写过程；
请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；
当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
由函数解析式列出关于的不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．
本题的考点是求函数的定义域，根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组求出它们的解集的交集即可，属于基础题．
【解答】
解：要使函数有意义，则，解得且，
函数的定义域是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于，因为的定义域为，
又，
所以不是偶函数，故A错误；
对于，因为的定义域为，
又，所以是偶函数，故B正确；
对于，因为的定义域为，
而，，
则，所以不是偶函数，故C错误；
对于，因为的定义域为，
而，，
则，所以不是偶函数，故D错误．
故选：．
利用函数奇偶性的判断方法判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于，时，不成立，
对于，令，，不成立，
对于，根据不等式的基本性质，成立，
对于，令，，不成立，
故选：．
根据特殊值法判断，，，根据不等式的性质判断．
本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
解不等式得或，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得或，
由“”能推出“或”，但“或”推不出“”，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：对于，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，与或的定义域不同，不是同一函数．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出二次函数的对称轴，求出单调递减区间，由此判断即可．
本题考查了二次函数的单调性的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
【解答】
解：函数，
其对称轴为，
所以单调递减区间为，
因为，
所以函数的一个单调递减区间可以是．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：等价于或，
由图可知，或，
故不等式的解集为．
故选：．
找出使与异号的的范围，即可得解．
本题考查函数的图象与性质，不等式的解法，考查数性结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：令，则，
等价于或，
解得，则，
等价于或，
解得，
则实数的取值范围是．
故选：．
先令，解不等式，得到，再解，即可求出结果．
本题主要考查由分段函数的性质求解不等式的方法，分段函数的性质等知识，属于中等题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，函数的定义域为，且值域为，即函数的最小值，最大值为，
又由函数，
当时，可得，
要是函数满足新定义，则满足，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．
利用图象是解答函数值域的最有效手段，本题属于中档题．
11.【答案】，使得
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，
故答案为：，使得．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
使用换元法求出函数的解析式，再将代入进行求解．
【解答】
解：令，则
则
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：；
当时，则，
故；
故答案为：；．
根据题意结合奇函数的定义分析求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：不等式的解集为，
和是方程的两个根，且，
，，，，
，等价于，
，等价于，解得或，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
由题意得，，，进而将所解不等式转化为，再求解即可得到答案．
本题考查一元二次不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，且，所以，
又因为在上单调，，所以在上单调递增，
则当时，单调递减，故正确；
因为在上单调递增，，故此时，则当时，，故错误；
当时，不等式，即，则，
由为偶函数，则不等式的解集为，故正确；
方程可化为，则或，
当时，则，解得或，
当时，则，解得或，
此时，故正确；
故答案为：．
根据条件可得到偶函数在上的单调递增，进而得到在上单调递减，即可判断；
根据单调性以及可判断；
根据奇偶性以及，即可判断；
解出或，结合，，解出，进而可判断．
本题考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为，或，
所以或，
．
因为，
或，
所以．
即的取值范围是．
【解析】由一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的交集和并集运算求解即可；
根据包含关系得出参数的取值范围．
本题考查了集合间的运算以及集合间的包含关系，属于基础题．
17.【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系，
得，
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，将目标式配凑为两根之和和两根之积的形式，即可求得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于容易题．
18.【答案】解：Ⅰ的图象过点，
，
，
，的定义域为，关于原点对称，
又，，
是奇函数
Ⅱ证明：在区间任取，，且，
则
，
又，，，
，
，
即在区间上是增函数．
【解析】本题考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的证明，注意运用定义法，属于基础题．
Ⅰ代入点，求得，再由定义判断奇偶性；
Ⅱ根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证．
19.【答案】解：根据题意，因为，
所以，的图象的对称轴方程为．
由，得；
故，
在区间上，最小值为，最大值为，
即函数在区间上的值域为；
不等式，即为，变形可得 ，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为．
【解析】根据题意，由二次函数的性质可得，求出的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；
根据题意，分三种情况：当时，当时，当时来解不等式，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意可得，为正整数．
，当且仅当，即时等号成立，
故当时，有最小值，最小值为．
【解析】由已知条件，可推得为正整数．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：对于集合，当去掉元素时，剩余的所有元素之和为，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”．
集合是“和谐集”，证明如下：
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有；
当去掉元素时，有．
所以集合是“和谐集”．
证明：假设集合是“和谐集”，
不妨设，必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有，或，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
由，得，矛盾，
所以假设不成立，
故当时，集合一定不是“和谐集”．
【解析】根据定义，判断集合不是“和谐集”；
写出集合，利用定义证明即可；
假设集合是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．
本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题．
第1页，共1页
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