第五章相交线与平行线素养基础卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章相交线与平行线素养基础卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 23:21:46 | ||
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文档简介
第五章 相交线与平行线素养基础卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C． 比 D．曲
2．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若，，则平行线b，c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（ ）
A．7m B．6m C．m D．4m
6．如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A．与一定不平行 B．与一定平行
C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行
8．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ ）
A．117米 B．118米 C．119米 D．120米
9．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）．
12．一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．
13．如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为 ．
14．如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度， ．
15．如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
三、解答题
16．如图，，，求的度数．
17．如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，求：
(1)写出与的大小关系：______，判断的依据是______；
(2)若，求的度数．
18．根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，，平分交于点F，．
求证：．
证明：∵（已知），
（ ），
______（ ）．
平分（已知），
（ ），
______（ ）．
（已知），
（ ），
（ ），
（ ）．
19．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、均在格点上．
(1)过点画，垂足为；
(2)过点画线段的平行线，交直线于点；
(3)线段、的大小关系是______（用“＜”连接），理由是______．
20．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
21．如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．
22．数学课上，老师给出如下问题：
直线、相交于点O，，平分，射线，求的度数．
小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）．
解：如图1，因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以．
(1)请补全小丽的解答过程；
(2)小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答．
23．如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．
(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；
(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．
故选：C．
2．B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
3．B
【分析】根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴平行线b，c之间的距离是4．
故选B．
【点睛】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键．
4．C
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵，向右平移距离为，点的对应点为点，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键．
5．D
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P到直线的距离小于．
故选：D．
【点睛】此题考查了点到直线的距离、垂线段最短等知识，熟知垂线段最短是解题的关键．
6．C
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二、移动三角板另一直角边到已知点，
三、过已知点画垂线，
四、画垂直符合，
∴项符合题意，不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．
7．D
【分析】根据关键语句“若与不平行, 与不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行,与不平行,则与可能相交或平行，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
8．B
【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可．
【详解】解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为米，
故选：B．
【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的前提．
9．A
【分析】根据平行线的性质得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∵，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
10．C
【分析】根据平行线的判定即可得．
【详解】解：A、由可得（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
B、由可得（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
C、由可得（同位角相等，两直线平行），不能得到，则此项符合题意；
D、由可得（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
11．①③④
【解析】略
12．100
【分析】由平行线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，
，
．
故答案为：100．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．
13．18
【分析】本题主要考查了平移的性质，发现阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键．
根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答．
【详解】解：根据平移的性质可得：，，
∴，即，
∵，
∴,
∴．
故答案为：18．
14．
【分析】先根据与太阳光线互相垂直，得出，再根据平行线的性质可得当时，，即可得出结论．
【详解】解：∵与太阳光线互相垂直，
∴，
当时，，
∴需将电池板逆时针旋转，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
15．77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵彩带两边平行，
∴，
∵折叠，彩带两边平行，
∴，
∴，
∴．
故答案为：77．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16．
【分析】本题考查平行线的性质和判定，根据判定，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可解题．
【详解】解：由图可知，，
，
．
，
．
17．(1)，对顶角相等
(2)
【分析】此题考查了对顶角相等，垂线的定义，角平分线的定义，掌握其概念是解决此题关键．
（1）根据对等角相等解答即可；
（2）根据垂直的定义得，由角平分线的定义得，然后由角的和差关系可得答案．
【详解】（1）∵与是对等角，
∴（对顶角相等），
故答案为：，对顶角相等；
（2）∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质．解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（角平分线定义），（等量代换）． （等量代换），（同位角相等，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【分析】本题考查了作图，垂线段最短，平行线的判定和性质等，
（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据平行线的判定画出图形即可；
（3）根据垂线选最短进行判断即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
（3）线段，理由是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）过作于，根据，即可求解．
【详解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直线与的距离
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
21．
【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解．
【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上，
则，
在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，
则，
∴，又，
∴，
，
．
【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解．
22．(1)，，，
(2)
【分析】本题考查了互补，角平分线，
（1）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得；
（2）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得
掌握互补，角平分线，角的和差关系，分情况讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1所示，
因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以；
故答案为：，，，．
（2）解：如图所示，
因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图2，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）如图3，过点作，过点作，
则，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．
答案第1页，共2页
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考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C． 比 D．曲
2．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若，，则平行线b，c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（ ）
A．7m B．6m C．m D．4m
6．如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A．与一定不平行 B．与一定平行
C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行
8．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ ）
A．117米 B．118米 C．119米 D．120米
9．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）．
12．一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．
13．如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为 ．
14．如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度， ．
15．如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
三、解答题
16．如图，，，求的度数．
17．如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，求：
(1)写出与的大小关系：______，判断的依据是______；
(2)若，求的度数．
18．根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，，平分交于点F，．
求证：．
证明：∵（已知），
（ ），
______（ ）．
平分（已知），
（ ），
______（ ）．
（已知），
（ ），
（ ），
（ ）．
19．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、均在格点上．
(1)过点画，垂足为；
(2)过点画线段的平行线，交直线于点；
(3)线段、的大小关系是______（用“＜”连接），理由是______．
20．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
21．如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．
22．数学课上，老师给出如下问题：
直线、相交于点O，，平分，射线，求的度数．
小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）．
解：如图1，因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以．
(1)请补全小丽的解答过程；
(2)小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种情况，并解答．
23．如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．
(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；
(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．
故选：C．
2．B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
3．B
【分析】根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴平行线b，c之间的距离是4．
故选B．
【点睛】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键．
4．C
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵，向右平移距离为，点的对应点为点，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键．
5．D
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P到直线的距离小于．
故选：D．
【点睛】此题考查了点到直线的距离、垂线段最短等知识，熟知垂线段最短是解题的关键．
6．C
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二、移动三角板另一直角边到已知点，
三、过已知点画垂线，
四、画垂直符合，
∴项符合题意，不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．
7．D
【分析】根据关键语句“若与不平行, 与不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行,与不平行,则与可能相交或平行，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交.
8．B
【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可．
【详解】解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为米，
故选：B．
【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的前提．
9．A
【分析】根据平行线的性质得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∵，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
10．C
【分析】根据平行线的判定即可得．
【详解】解：A、由可得（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
B、由可得（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
C、由可得（同位角相等，两直线平行），不能得到，则此项符合题意；
D、由可得（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
11．①③④
【解析】略
12．100
【分析】由平行线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，
，
．
故答案为：100．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．
13．18
【分析】本题主要考查了平移的性质，发现阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键．
根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答．
【详解】解：根据平移的性质可得：，，
∴，即，
∵，
∴,
∴．
故答案为：18．
14．
【分析】先根据与太阳光线互相垂直，得出，再根据平行线的性质可得当时，，即可得出结论．
【详解】解：∵与太阳光线互相垂直，
∴，
当时，，
∴需将电池板逆时针旋转，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
15．77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵彩带两边平行，
∴，
∵折叠，彩带两边平行，
∴，
∴，
∴．
故答案为：77．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16．
【分析】本题考查平行线的性质和判定，根据判定，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可解题．
【详解】解：由图可知，，
，
．
，
．
17．(1)，对顶角相等
(2)
【分析】此题考查了对顶角相等，垂线的定义，角平分线的定义，掌握其概念是解决此题关键．
（1）根据对等角相等解答即可；
（2）根据垂直的定义得，由角平分线的定义得，然后由角的和差关系可得答案．
【详解】（1）∵与是对等角，
∴（对顶角相等），
故答案为：，对顶角相等；
（2）∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质．解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（角平分线定义），（等量代换）． （等量代换），（同位角相等，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【分析】本题考查了作图，垂线段最短，平行线的判定和性质等，
（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据平行线的判定画出图形即可；
（3）根据垂线选最短进行判断即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
（3）线段，理由是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）过作于，根据，即可求解．
【详解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直线与的距离
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
21．
【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解．
【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上，
则，
在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，
则，
∴，又，
∴，
，
．
【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解．
22．(1)，，，
(2)
【分析】本题考查了互补，角平分线，
（1）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得；
（2）根据垂直的定义得，再根据互补得，根据角平分线的定义得，根据是直线下方的一条射线即可得
掌握互补，角平分线，角的和差关系，分情况讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1所示，
因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以；
故答案为：，，，．
（2）解：如图所示，
因为射线，所以．
因为与互补，，所以．
因为平分，所以．
因为是直线下方的一条射线，所以．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图2，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）如图3，过点作，过点作，
则，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．
答案第1页，共2页
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