第五章相交线与平行线素养提优卷（含解析）

第五章 相交线与平行线素养提优卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题
1．中图载人航天工程标识主造型既像一个汉语书法的“中”字，又类似空间站的基本形态，尾部的书法笔触似腾空而起的火箭，充满中国元素和航天特色，结构优美、寓意深刻．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
4．数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则的度数是( )

A． B． C． D．
5．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
6．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
8．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．佳佳和音音在解决如下问题：如图，将三角形的顶点平移到顶点，作出平移后的图形．
佳佳的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可．
音音的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可．
关于这两种方法，下列判断正确的是（ ）
A．佳佳和音音的方法均正确
B．佳佳的方法正确，音音的方法不正确
C．佳佳的方法不正确，音音的方法正确
D．佳佳和音音的方法均不正确
10．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3．若图1中，，则图3中的的度数是（　　）
A．120° B．140° C．150° D．160°
二、填空题
11．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离 4.6米(填“大于”“小于”或“等于”)．
12．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它历史久远、博大精深，如图①，“马”走一步可到达A、B、C、D、E、F、G、H中的某一个位置，俗称“马走日”．在如图②所示的象棋盘中，“马”至少走 步才能到达“帅”的位置．

13．如图，一艘船在海面上航行，到达B处时，看到灯塔A在它的北偏东方向，达到C处时，看到灯塔A在它的北偏西方向．则 ．
14．学行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．

15．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ．
三、解答题
16．如图，直线，交于点O，，若，求的度数．
17．如图所示，一块玻璃不小心被打碎了，只有一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形，先用一把直尺作，，这样裁剪以后，和是否平行？并说明理由．

18．如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形边长为1，顶点叫做格点，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，画出平移后的图形．点A、B、C平移后的对应点分别是；
(2)平移扫过的面积是______；
(3)在图（2）中，过点C画出的平行线l，则在此网格内l上有______个格点（C点除外）．
19．七三班的同学们在学行线与相交线的内容后，进行了自主命题活动，设计出下面的题目．如图所示，现有三个语句①，，②，③．请你以其中两个语句为条件，第三个语句为结论构造命题．

(1)请把你能构造的所有真命题写成“如果……那么……”的形式；
(2)请选择其中的一个真命题进行证明．
20．星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，
爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”
小刚：“我早已用盒尺量好了，每阶高，宽为 …”
爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”
小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”
你认为小刚的方法可以吗？说明理由．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．

22．数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
小颍认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究：
问题 已知与，，，探究与的数量关系
情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． ③两边方向均相反，点在的外部．反向延长射线交射线于点．
图示
结论
说理 ∵， ∴（依据）． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即．
结论 如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为：_________．
(1)情况①说理过程中的“依据”是： ；
(2)请补全情况②的说理过程；
(3)请补全小颖发现的结论．
23．【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．
(1)【初步应用】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：
①当，（即时，求的度数；
②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于
(2)【拓展探究】
如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 _____；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据平移的性质：平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，即可解答；
【详解】如图，可以通过平移节水标志得到的图形是
故选：B
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
3．C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即，
又∵过作的垂线，即，
∴，
∴直线与的位置关系是平行，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意可得：，，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并几何图形进行分析是解题的关键．
5．D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
6．C
【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：如图，

由题意可知，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质和余角的定义．掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
7．A
【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行，
故选：A．
8．D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
9．A
【分析】根据平移的性质分别判断即可．
【详解】解：按照佳佳的方法，且，且，符合图形平移前后对应点连成的线段平行且相等，因此方法正确；
按照音音的方法，，，，， 符合图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，因此方法正确；
综上可知，佳佳和音音的方法均正确．
故选A．
【点睛】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握平移的性质．图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等．
10．A
【分析】图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数．
【详解】解：图1中，∵矩形对边，
∴，
在图2中，，
在图3中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．
11．大于
【详解】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，
又∵垂线段最短，
∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，
故答案为大于.
12．3
【分析】结合“马走日”规则，分析“马”和“帅”之间相距的格数，并以此作为依据推出“马”行走的步数．
【详解】已知“马”和“帅”之间纵向相距个单位长度，横向相距个单位长度，结合图像进行以下假设：
①如果走步，“马”应落点黄色箭头所指的点，可直观看出无法走到“帅”处；
②如果走步，在①基础上，“马”应落点蓝色箭头所指的点，也无法步到达“帅”点；

③如果走步，在①②基础上，可有条线路能到达“帅”点，如下图绿色箭头所示．

故答案为：．
【点睛】本题考查的是对题意中“马走日”规则的理解，解题关键是结合图像进行假设．
13．/75度
【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．过A作，则，由方向角的定义得到，然后由平行线的性质可得答案．
【详解】解：过A作，则，
由题意得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答．
【详解】解：由图2可知：,由图3可知：,
∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．
故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键．
15．74
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】根据对顶角相等求出，根据题意求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角，熟记对顶角相等是解题的关键．
17．平行，理由见解析．
【分析】根据题意可得，，即可判定．
【详解】解：和平行，理由如下：
∵，
∴
∴
【点睛】此题考查了平行线的应用，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
18．(1)见解析
(2)9
(3)2
【分析】本题考查平移的性质．
（1）根据平移的规则，画出即可；
（2）分割法求平移扫过的面积即可；
（3）根据题意，画出直线，确定l上的格点个数即可；
熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由题意，平移扫过的面积为：；
故答案为：9；
（3）如图所示，直线l即为所求，
由图可知，直线上除了格点有2个格点；
故答案为：2．
19．(1)①如图，如果，，，那么，是真命题；
②如图，如果，，，那么，是真命题．
(2)见解析
【分析】（1）结合图形，根据平行线的判定和性质，逐一组合推理判断即可；
（2）利用平行线的判定和性质证明即可；
【详解】（1）①如图，如果，，，那么，是真命题；
②如图，如果，，，那么，是真命题；
（2）命题①正确，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
命题②正确，证明如下：
，
，
，
，
，
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20．可以，理由见解析
【分析】根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，再量出楼梯的总高和总长度相加得出答案．
【详解】解：可以，
如图所示：根据图示可得：
地毯的总长度cm=3.15m．
【点睛】本题主要考查了平移的应用，确定地毯的长与楼梯的高和长度的关系是解题的关键．
21．
【分析】先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
【详解】解：扶手与底座都平行于地面，
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
22．(1)两直线平行，同位角相等
(2)见解析
(3)相等或互补
【分析】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
（3）综合①②③的证明，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：两直线平行，同位角相等；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
（3）解∶由①③可得，如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由由②可得，如果两个角的两边分别平行，则这两个角互补．
故答案为：相等或互补．
23．(1)①；②详见解析
(2)
【分析】（1）①由可求，再根据已知的平行条件可得，从而求解；
②由的度数求出，再根据，，可求出，根据平行线的判定和性质可得；
（2）过点作，根据平行公理推论证明，根据平行线的性质，找出角与角之间的关系，求出，，进而可得，在由三角形内角和为，求出．
【详解】（1）解：（①∵，
∴．
又∵，
∴．
②由题意知，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过点作，．

∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
同理可得，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的关系．
答案第1页，共2页
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