2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正项等比数列中，，是方程的两根，则的值是( )
A. B. C. D.
2.若双曲线：的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
3.已知某物体的运动方程是的单位为，该物体在时的瞬时加速度是( )
A. B. C. D.
4.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.数列的前项和为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
6.已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推若，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆与直线相切，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
8.某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面同学提出的结论正确的有( )
甲：曲线，都关于直线对称
乙：曲线在第一象限的点都在椭圆内
丙：曲线上的点到原点的最大距离为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得 B.
C. 的面积最大值为 D.
10.已知棱长为的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线则下列结论正确的是( )
A. 当时，是圆
B. 当动点到直线，的距离之和等于时，是椭圆
C. 当直线与平面所成的角为时，是双曲线
D. 当动点到点的距离等于点到直线的距离时，是抛物线
11.“，数列”是每一项均为或的数列，在通信技术中应用广泛设是一个“，数列”，定义数列：数列中每个都变为“，，”，中每个都变为“，，”，所得到的新数列例如数列：，，则数列：，，，，，已知数列：，，，，，且数列，，，，，记数列中的个数为，的个数为，数列的所有项之和为，则下列结论正确的是( )
A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列
C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列的前项和记为，且，，则 ______．
13.以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点．已知，，则的焦点到准线的距离为 ．
14.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，与的离心率之比为：，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如右图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
求的值；
设，求过点的切线方程．
16.本小题分
已知动点满足：．
求动点的轨迹方程；
若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，．
求；
若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前项和．
18.本小题分
若双曲线：的一个焦点是，且离心率为．
求双曲线的方程；
已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于，两点，求直线和的斜率之和的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和，数列满足：，
证明：是等比数列；
设数列的前项和为，且，求；
设数列满足：证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正项等比数列中，，是方程的两根，
，，
则．
故选：．
利用等比数列的性质、韦达定理、对数运算法则求解．
本题考查等比数列的性质、韦达定理、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：双曲线：的离心率为，焦点到渐近线的距离为，
根据双曲线的对称性，取焦点，渐近线为：，即，
，，
可得，可得．
故双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为．
故选：．
根据已知条件求解，即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：某物体的运动方程是的单位为，
则，
，
当时，．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由正方形和椭圆的对称性可得，
设椭圆方程为，
由，为正方形，可得
，，
将的坐标代入椭圆方程可得
，
即有，
，
即有．
故选：．
由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为，由，为正方形，可得，，代入椭圆方程，可得，由，，的关系，结合离心率公式，可得所求值．
本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质：对称性，考查点满足椭圆方程，以及计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为的前项和为，且满足，，
所以，，，
故数列的周期为，，
则．
故选：．
由已知递推关系求出数列的前几项，结合项的规律求出周期，进而可求．
本题主要考查了数列的递推关系及周期性在数列求和中的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，，
所以．
故选：．
根据题意确定，，之间的关系以及与的关系即可得所求．
本题考查数列的应用，考查数列的递推关系，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：联立，消去得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
对比选项可知，的值不可能是．
故选：．
联立直线与椭圆的方程，利用判别式，可得，再结合，解不等式即可．
本题考查直线与椭圆相切的位置关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于曲线，用代换，代换，得，
与原方程不相同，故曲线不关于直线对称，可知甲同学提出的结论不正确；
若点是曲线在第一象限上的点，设，则，两边平方得，
结合，可得，再平方得，因此，
由，可知点在椭圆内部，故乙同学提出的结论正确；
对于曲线，设为其上一点，则，
联想到，设，其中，则，其中，
当时，即时，有最大值，
即曲线上的点到原点的最大距离为，可知丙同学提出的结论不正确．
综上所述，三位同学提出结论只有乙是正确的，正确结论只有个．
故选：．
根据关于直线对称的图形的性质，判断出甲同学提出结论的正误；根据点与椭圆的位置关系，结合曲线的方程判断出乙同学提出结论的正误；利用三角换元，计算出曲线上的点到原点的最大距离，判断出丙同学提出结论的正误，从而得到本题答案．
本题主要考查曲线与方程、椭圆的标准方程与几何性质、两点间的距离公式及其应用，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，，
对选项，设的最大值为，则，，
，的最大值为，选项错误；
对选项，，选项正确；
对选项，当为短轴顶点时，的面积最大，
的面积最大值为，选项错误；
对选项，，即，选项正确．
故选：．
根据椭圆的几何性质即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意，，，，
，，，，，，
对于，若，则，
化简并整理得，所以，，即此时是点，故A错误；
对于，因为平面，平面，所以，同理，
所以当动点到直线，的距离之和等于时，有，
所以此时是椭圆，故B正确；
对于，显然可取平面的法向量为，又，
当直线与平面所成的角为时，有，
化简并整理得，即是双曲线，故C正确；
对于，当动点到点的距离等于点到直线的距离时，有，
化简并整理得，所以是抛物线，故D正确．
故选：．
对于，由化简即可判断；对于，由椭圆定义结合空间点线距离即可得解；对于，由，化简即可判断；由化简即可判断．
本题考查点的轨迹问题，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：数列中，的个数为，的个数为，，，
，，
两式相加得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
两式相减得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
则，，
，
，
，
故ABC正确，D错误．
故选：．
数列中，的个数为，的个数为，可利用，表示出，，两式分别作和、作差，结合等比数列通项公式可推导求得，，从而得到，，，即可判断．
本题考查了等比数列的定义和通项公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
则．
故答案为：．
利用等差数列的求和公式，建立方程组，可得答案．
本题考查等差数列的求和，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可抛物线的方程，根据抛物线的性质，即可求得的焦点到准线的距离．
本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
【解答】
解：设抛物线为，如图：
设交轴与点，交轴与点，
，则，
，则，，
因为点在抛物线上，所以点的横坐标为：，即，
，
，解得：，
抛物线的方程为：，
的焦点到准线的距离为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在左侧图形中，由椭圆定义可得，，
由双曲线定义可得，，
由可得，，
的周长为；
在右侧图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线经过，则的周长为，又椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为，
，又两次所用时间分别为，，而光线速度相同，
．
故答案为：．
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆与双曲线的定义求出两个图形中三角形的周长，再由离心率的比值求得，把转化为，的关系得答案．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆与双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：，
则，
，
故，解得；
，
点也在的图象上，
故为切点，
则，
，
故过点的切线方程为，即．
【解析】根据已知条件，推得，再将代入，即可求解；
结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：因为动点满足，
所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，
所以，，
所以，
所以．
设点，，
则，
作差得，
除以得，
代入中点坐标，则，
直线的方程是．
【解析】利用两点间的距离公式识别已知条件为到定点，的距离之和等于定值，结合椭圆的定义，即可得出答案．
根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程．
本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
当时，，
因为，所以，
所以；
因为，所以，
则，，，，，，
又因为，且，
所以数列的前项中有数列的项，
所以．
【解析】利用累加法求解即可；
由可得，则数列的前项中有数列的项，再结合等差数列的前项和公式求解即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的前项和公式，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，，
又，所以，，
所以双曲线的方程．
由题意直线的斜率存在，设直线：，
联立，整理得，
则，，
设，，
则，，
解得，
又点，
所以
，
设，则，
因为要求最大值，只需考虑，
当且仅当，即时，等号成立，所以所求最大值为．
【解析】由题意，根据焦点坐标，离心率公式以及，，之间的关系，列出等式求解即可；
设直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理转化为斜率的不等关系求斜率的范围，进而再由斜率公式用换元法即可求解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了转化思想和数学运算能力，属于难题．
19.【答案】解：证明：由，得，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
由数列的前项和为，可得：
当时，有，
当时，，
显然也满足，
故，
又，，
所以，
故；
证明：，
当为奇数时，，则，
当为偶数时，，
则，
设，
则，
两式相减得，，
，
所以，
所以，故原式得证．
【解析】由递推关系得，即可得证；
利用与的关系求出的通项公式，结合已知得，由裂项相消法得；
讨论的奇偶性，利用裂项相消法和错位相减法，分别求出的奇数项、偶数项的和，即可证得结论．
本题考查数列递推式判定等比数列，考查裂项相消法和错位相减法求和等知识，属难题．
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