2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是( )
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
2.已知是半径为的圆的一条弦，则的长不可能是( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形若：：，四边形的周长是，则四边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售件衬衣，则其中次品的件数大约是( )
抽取件数件
合格频数
A. B. C. D.
6.小明沿着坡比为：的山坡向上走了，则他升高了( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，劣弧的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，下列说法正确的是( )
A. 小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是
B. 小球飞行时飞行高度为，并将继续上升
C. 小球的飞行高度可以达到
D. 小球从飞出到落地要用
9.二次函数为常数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形≌，≌和矩形拼成大矩形连结，设，若，，则矩形与矩形的面积比为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若两个相似多边形的相似比为：，则它们面积的比为______．
12.有两辆车按，编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率为______．
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是______米
14.在中，若，则的值是______．
15.如图，抛物线经过点和点作射线，是线段上的动点，将射线绕点逆时针旋转得射线若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为______．
16.如图，内接于，高，相交于点，若，，，则的半径为______，的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
在一个不透明的袋中装有个红球、个白球和个黑球，共个球，它们除颜色外都相同．
求从袋中摸出一个球是红球的概率．
摸出个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出个球，求两次摸出的球颜色不相同的概率要求画树状图或列表．
19.本小题分
如图是的正方形网格，已知格点顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形，请按下列要求完成作图要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论．
将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图中作出点与点是对应点在图中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
20.本小题分
如图是一种可折叠单面字展架，其主体部分的示意图如图，由展板、支架可绕点转动和活动杆均为可转动支点组成该展架是通过改变的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，不得小于现测得，，．
求支架底端，张开的最大距离．
工作人员转动支点，使与垂直后并固定如图，请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
参考数据：，，，，，
21.本小题分
如图，是的内接三角形，是的直径，．
求的度数；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
22.本小题分
【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图所示的无盖纸盒，记它的容积为．
任务请你写出关于的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务列表：请你补充表格中的数据．
______ ______
描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
23.本小题分
已知二次函数．
求该二次函数图象的顶点坐标用含的代数式表示．
点在该二次函数图象上，其中．
当时，求的取值范围．
请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
24.本小题分
如图，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结．
求证：．
如图，当是等腰直角三角形时．
求的正切值；
求的值．
若，设，，求关于的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线中，，
抛物线开口向上，
故选：．
根据，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：是半径为的圆的一条弦，
，
四个选项中，只有选项符合题意，
故选：．
根据直径是圆中最长的弦进行求解即可．
本题主要考查了圆的认识，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．
本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，
四边形∽，，
∽，
，
四边形的周长：四边形的周长：，
四边形的周长是，
四边形的周长，
故选：．
根据位似图形的概念得到四边形∽，，得到∽，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．
本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，比较接近，
故选：．
求出样本的次品率，即可求出总体中次品的数量，再做出选择即可．
考查统计表所反映数量之间的关系，计算出次品率是正确解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，：：，
设，，
则，
解得：，
故他升高了
故选：．
根据题意作出图形，可得：：，设，，根据勾股定理求出，然后根据，求出的值．
此题考查了解直角三角线的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，并解直角三角形，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：连接．
，
，
，
的度数为．
故选：．
连接，求出，可得结论．
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：的两根与，即时所用的时间，
小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故A错误；
，
对称轴直线为：，最大值为，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故B错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用，故C正确．
故选：．
根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．
本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
若，则，，选项A错误．
若，则，，选项B错误．
若，则，则，选项C错误．
若，则，
，选项D正确．
故选：．
通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出，然后分别判断四个选项求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
设，，
≌，≌，且这四个三角形均为直角三角形，
，
，
，
∽，
，
，
，，，
，，，
，即，
，
，
，
，
，，，
，
，
故选：．
设，，证∽，用含、的式子表示、、，再根据，推出与的关系，最后利用勾股定理求出、和的长，代入矩形面积计算即可．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】：
【解析】解：相似多边形的相似比是：，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为：．
故答案为：：．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果数为，
所以两位老师同坐号车的概率．
故答案为：．
画树状图展示所以种等可能的结果，再找出两位老师同坐号车的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
13.【答案】
【解析】解：根据题意和圆的性质知点为的中点，
连接交于，
则，米，
在中，米，米，
米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故答案为：．
连接交于，根据圆的性质和垂径定理可知，米，根据勾股定理求得的长，由即可求解．
本题考查的是垂径定理的应用，涉及到圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
14.【答案】
【解析】解：中，，，
设，则，．
．
故答案为：．
根据设出两直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，运用三角函数的定义解答．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．
15.【答案】
【解析】解：抛物线与轴的交点是和，
抛物线的对称轴为直线，
如图，当点与重合时，射线与抛物线只有一个公共点，此时点的横坐标为，
当点在对称轴上时，则在抛物线上，射线与抛物线有个公共点，此时点的横坐标为，
若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为．
故答案为：．
求得抛物线的对称轴，观察图象，当点与重合时，射线与抛物线只有一个公共点，此时点的横坐标为，当点在对称轴上时，则在抛物线上，射线与抛物线有个公共点，此时点的横坐标为，据此即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，数形结合是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作直径，连接，，
是圆是的直径，
，
，
，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
，，
：：，
，
，
，
，
，
的半径是，
，，，
．
故答案为：，．
作直径，连接，，由圆周角定理推出，而，判定，同理：，推出四边形是平行四边形，得到，，由，得到，求出，得到的半径是，由勾股定理求出．
本题考查三角形的外接圆与外心，关键是作直径，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，，由锐角的正弦求出．
17.【答案】解：
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：由题意得，从袋中摸出一个球是红球的概率为．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不相同的结果有：红，白，红，黑，白，红，白，黑，黑，红，黑，白，共种，
两次摸出的球颜色不相同的概率为．
【解析】直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球颜色不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：如图中，即为所求；
图中，点即为所求．

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
取格点，，连接交一点，点即为所求．
本题考查作图旋转不变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
20.【答案】解：当，，三点共线时，最大，过点作，如图：
由等腰三角形的性质可知经过点，
，，
，，
，即，
解得，
；
不符合要求，连接，如图：
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
此时不符合规范使用的要求．
【解析】当，，三点共线时，最大，根据锐角三角函数即可解答；
连接，先根据锐角三角函数求出，即可求出，再判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形的解题关键．
21.【答案】解：是的直径，
，
，
；
连接，过作于，
，的半径为，
，
由勾股定理得：，
，
，
由圆周角定理得：，
．
【解析】根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可；
连接，过作于，根据勾股定理求出，再根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：任务
，
任务在中，
当时，；当时，，
故答案为：，；
如图所示，
如图所示：
任务由图可知，当为时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
任务根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式，根据的实际意义可直接分析出其取值范围；
任务分别将和代入函数关系式可求出的值；根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；可直接用平滑曲线连接；
任务根据数形结合的思想可直接从图象中估出的为时，容积最大．．
本题考查了函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．
23.【答案】解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差．
【解析】把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标；
当时，则二次函数，，即可求得的取值范围是；
由题意可知的最小值为，最大值为时的值，即的最大值为，可得的最大值与最小值之差．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，
，，
，
；
解：过点作交延长线于点，连接，
设圆的半径为，
是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
四边形是正方形，
，，
；
设圆的半径为，则，，
过点作交于点，
，
，，
，
，，
；
连接，
是圆的直径，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
．
【解析】利用同弧所对的圆周角相等，通过等量代换证明即可；
过点作交延长线于点，连接，设圆的半径为，证明四边形是正方形，再求解即可；
设圆的半径为，则，，过点作交于点，则，结合，推导出，，即可得到；
连接，证明∽和∽，推导与的关系即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键．
第1页，共1页